Considere um próton de massa
, carga q e velocidade inicial
, se movendo em uma região de campo magnético uniforme dado por
, onde
é uma constante positiva. Só existe a força magnética atuando sobre o próton.
Determine o raio da trajetória helicoidal resultante, a velocidade angular do próton e 0 passo da hélice.
Determine o raio da trajetória helicoidal resultante, a velocidade angular do próton e 0 passo da hélice.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um próton com massa
, carga
, e uma velocidade inicial dada por
. Esse próton está se movendo em um campo magnético uniforme
. A única força atuando sobre ele é a força magnética. Precisamos determinar três coisas:
- O raio da trajetória helicoidal resultante,
- A velocidade angular do próton,
- O passo da hélice.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento de partículas carregadas em campos magnéticos.
Passo 2
Lembre-se que a força magnética que atua sobre uma carga em movimento é dada pela fórmula:
Aqui,
representa o produto vetorial entre a velocidade da partícula e o campo magnético.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
:
Então,
Passo 4
A força magnética, portanto, fica:
Isso mostra que a força está na direção negativa do eixo
.
Passo 5
Como a força magnética é perpendicular à velocidade da partícula, ela causa uma aceleração centrípeta que faz o próton se mover em um círculo na direção perpendicular ao campo magnético. Ao mesmo tempo, a componente da velocidade na direção do campo (
) permanece constante. Isso resulta em uma trajetória helicoidal.
Passo 6
Para encontrar o raio
da trajetória circular, usamos a condição de equilíbrio entre a força magnética e a força centrípeta:
Aqui,
é a componente da velocidade perpendicular ao campo magnético, que no nosso caso é
.
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
A velocidade angular
está relacionada à velocidade perpendicular e ao raio pela fórmula:
Substituindo o valor de
obtido anteriormente:
Passo 9
Para determinar o passo
da hélice, que é a distância percorrida na direção do campo durante um ciclo completo, usamos:
Onde
é a componente da velocidade paralela ao campo, e
é o período do movimento circular. O período é dado por:
Então,
Resposta
O raio da trajetória helicoidal é
, a velocidade angular é
e o passo da hélice é
.