Considere um próton de massa mp, carga q e velocidade inicial v=v0 y y+v0 z z, se movendo em uma região de campo magnético uniforme dado por B=B0 y, onde B0 é uma constante positiva. Só existe a força magnética atuando sobre o próton.
Determine o raio da trajetória helicoidal resultante, a velocidade angular do próton e 0 passo da hélice.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um próton com massa mp, carga q, e uma velocidade inicial dada por v = v0 y y + v0 z z. Esse próton está se movendo em um campo magnético uniforme B = B0 y. A única força atuando sobre ele é a força magnética. Precisamos determinar três coisas:
  1. O raio da trajetória helicoidal resultante,
  2. A velocidade angular do próton,
  3. O passo da hélice.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de força magnética e movimento de partículas carregadas em campos magnéticos.

Passo 2

Lembre-se que a força magnética que atua sobre uma carga em movimento é dada pela fórmula:
F = q v times B
Aqui, v times B representa o produto vetorial entre a velocidade da partícula e o campo magnético.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times B:
v = v0 y y + v0 z z
B = B0 y
Então,
v times B = (v0 y y + v0 z z) times B0 y = v0 z B0 (z times y) = v0 z B0 (-x) = -v0 z B0 x

Passo 4

A força magnética, portanto, fica:
F = q (-v0 z B0 x) = -q v0 z B0 x
Isso mostra que a força está na direção negativa do eixo x.

Passo 5

Como a força magnética é perpendicular à velocidade da partícula, ela causa uma aceleração centrípeta que faz o próton se mover em um círculo na direção perpendicular ao campo magnético. Ao mesmo tempo, a componente da velocidade na direção do campo ( v0 y) permanece constante. Isso resulta em uma trajetória helicoidal.

Passo 6

Para encontrar o raio r da trajetória circular, usamos a condição de equilíbrio entre a força magnética e a força centrípeta:
q vperp B0 = mp vperp^2r
Aqui, vperp é a componente da velocidade perpendicular ao campo magnético, que no nosso caso é v0 z.

Passo 7

Resolvendo para r:
r = mp v0 zq B0

Passo 8

A velocidade angular omega está relacionada à velocidade perpendicular e ao raio pela fórmula:
omega = vperpr = v0 zr
Substituindo o valor de r obtido anteriormente:
omega = v0 zmp v0 zq B0 = q B0mp

Passo 9

Para determinar o passo h da hélice, que é a distância percorrida na direção do campo durante um ciclo completo, usamos:
h = vparal<=l T
Onde vparal<=l = v0 y é a componente da velocidade paralela ao campo, e T é o período do movimento circular. O período é dado por:
T = 2piomega = 2pi mpq B0
Então,
h = v0 y cdot 2pi mpq B0

Resposta

O raio da trajetória helicoidal é r = dfracmp v0 zq B0, a velocidade angular é omega = dfracq B0mp e o passo da hélice é h = v0 y cdot dfrac2pi mpq B0.

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