Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é:
A) 27/64
B) 27/256
C) 9/64
D) 9/256
A) 27/64
B) 27/256
C) 9/64
D) 9/256
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma prova de Matemática com quatro questões de múltipla escolha, cada uma com quatro alternativas, mas só uma está correta. O candidato decide responder escolhendo uma alternativa aleatoriamente em cada questão. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar exatamente uma questão nessa prova?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória. Precisamos calcular a chance de, em quatro tentativas aleatórias, exatamente uma ser a correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas possibilidades existem no total. Como são quatro questões, e para cada uma temos quatro alternativas, o número total de combinações de respostas que o candidato pode fazer é:
Então, há 256 maneiras diferentes de responder as quatro questões.
Passo 3
Agora, queremos saber quantas dessas 256 combinações resultam em exatamente uma resposta correta. Para isso, precisamos:
- Escolher qual das quatro questões será a correta.
- Garantir que as outras três sejam incorretas.
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
1. Escolhendo a questão correta:
Como há quatro questões, há 4 maneiras de escolher qual delas será a correta.
Como há quatro questões, há 4 maneiras de escolher qual delas será a correta.
2. Respostas incorretas nas demais questões:
Para cada uma das três questões restantes, o candidato tem 3 alternativas erradas para escolher (já que apenas uma é correta). Então, para essas três questões, temos:
Para cada uma das três questões restantes, o candidato tem 3 alternativas erradas para escolher (já que apenas uma é correta). Então, para essas três questões, temos:
Passo 5
Agora, multiplicamos o número de maneiras de escolher a questão correta pelo número de maneiras de escolher as respostas incorretas nas outras questões:
Então, há 108 combinações em que o candidato acerta exatamente uma questão.
Passo 6
Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações:
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por 4:
Resposta
A probabilidade de o candidato acertar exatamente uma questão é
, correspondendo à alternativa A).