Considere Psi(x, t)=A(x-x^3) e^-i E t / hbar. Encontre V(x) de modo que a equação de Schrödinger seja satisfeita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda, que é tipo a descrição quântica de uma partícula, e pede para a gente encontrar o potencial que faz essa função de onda obedecer à equação de Schrödinger. Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas da mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger para uma partícula em uma dimensão:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x)Psi
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o potencial que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal da função de onda partial Psipartial t = -i Ehbar A(x - x^3) e^-i E t / hbar = -i Ehbar Psi .
A derivada em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial de partial Psipartial x = A(1 - 3x^2) e^-i E t / hbar .
Primeiro, a primeira derivada em relação a partial^2 Psipartial x^2 = A(-6x) e^-i E t / hbar = -6x Psi/A(x - x^3) :
E a segunda derivada:

Passo 5

Vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
ihbar (-i EhbarPsi ) = -hbar^22m (-6x)Psi + V(x)Psi
Simplificando o lado esquerdo:
EPsi = 3hbar^2 xm Psi + V(x)Psi

Passo 6

Agora, isolamos V(x)Psi = EPsi - 3hbar^2 xm Psi :
V(x) = E - 3hbar^2 xm
Dividindo ambos os lados por V(x) = E - 3hbar^2m cdot xx - x^3 = E - 3hbar^2m(1 - x^2) :
Mas lembrando que , podemos simplificar mais:

Resposta

O potencial que satisfaz a equação de Schrödinger é:
V(x) = E - 3hbar^2m(1 - x^2)

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