A função de onda para uma partícula confinada em 0 <= x <= a, no estado fundamental, foi considerada na forma
Psi(x)=A sin (pi xa)
onde A é a constante de normalização. Encontre A e determine a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo a / 2 <= x <= 3 a / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função de onda de uma partícula confinada entre no estado fundamental. A gente precisa encontrar a constante de normalização e calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante integral0^a |Psi(x)|^2 , dx = 1 de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço disponível seja 1. Matematicamente, isso é feito integrando o quadrado da função de onda sobre todo o intervalo a e igualando a 1:

Passo 3

Substituindo a função de onda integral0^a A^2 sin^2(pi xa) , dx = 1 na integral, temos:

Passo 4

Sabemos que A^2 integral0^a 1 - cos(2pi xa)2 , dx = 1 . Vamos usar essa identidade para simplificar a integral:

Passo 5

Separando a integral, temos:
A^22 [ integral0^a 1 , dx - integral0^a cos(2pi xa) , dx ] = 1

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^a 1 , dx = a
integral0^a cos(2pi xa) , dx = a2pi sin(2pi xa) |0^a = 0

Passo 7

Substituindo os resultados na equação:
A^22 cdot a = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Passo 8

Agora que encontramos P = integrala2^3a4 |Psi(x)|^2 , dx = A^2 integrala2^3a4 sin^2(pi xa) , dx , vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada por:

Passo 9

Usando novamente a identidade P = 2a cdot 12 integrala2^3a4 (1 - cos(2pi xa)) , dx :

Passo 10

Simplificando e calculando as integrais:
P = 1a [ integrala2^3a4 1 , dx - integrala2^3a4 cos(2pi xa) , dx ]
= 1a [ a4 - a2pi sin(2pi xa) |a2^3a4 ]
= 14 - 12pi [ sin(3pi2) - sin(pi) ]
= 14 - 12pi (-1 - 0) = 14 + 12pi

Resposta

A constante de normalização é e a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .

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