A função de onda para uma partícula confinada em , no estado fundamental, foi considerada na forma
onde é a constante de normalização. Encontre e determine a probabilidade de que a partícula seja encontrada no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função de onda de uma partícula confinada entre no estado fundamental. A gente precisa encontrar a constante de normalização e calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de normalização de funções de onda e cálculo de probabilidades na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar a constante de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço disponível seja 1. Matematicamente, isso é feito integrando o quadrado da função de onda sobre todo o intervalo a e igualando a 1:
Passo 3
Substituindo a função de onda na integral, temos:
Passo 4
Sabemos que . Vamos usar essa identidade para simplificar a integral:
Passo 5
Separando a integral, temos:
Passo 6
Calculando as integrais:
Passo 7
Substituindo os resultados na equação:
A^22 cdot a = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a
Passo 8
Agora que encontramos P = integrala2^3a4 |Psi(x)|^2 , dx = A^2 integrala2^3a4 sin^2(pi xa) , dx , vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada por:
Passo 9
Usando novamente a identidade P = 2a cdot 12 integrala2^3a4 (1 - cos(2pi xa)) , dx :