Considere o PVI associado a um oscilador amortecido
onde
é o coeficiente de amortecimento (ou resistencia)
Determine o valor
quando a solução atinge o seu valor mínimo. Determine também qual o valor
mínimo da solução.
Determine o valor
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um oscilador amortecido:
Aqui,
é o coeficiente de amortecimento e
é a função delta de Dirac, que representa um impulso aplicado no tempo
. As condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é descobrir em que momento
a solução
atinge seu valor mínimo
.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com termos de impulso e sobre o comportamento de sistemas oscilatórios amortecidos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
Esta é uma equação característica de um oscilador amortecido. A solução geral depende das raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Dependendo do valor de
, temos diferentes tipos de solução: subamortecido (
), criticamente amortecido (
) ou superamortecido (
). Para este exercício, vamos considerar o caso subamortecido, que é comum em osciladores amortecidos.
Passo 3
No caso subamortecido (
), as raízes são complexas:
onde
A solução geral da equação homogênea é então:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa com o termo de impulso
.
Passo 4
A função delta de Dirac
representa um impulso no instante
. Para lidar com esse termo, vamos utilizar as condições de continuidade e a descontinuidade na derivada de
causadas pelo impulso.
Antes do impulso (
), a solução é apenas a solução homogênea com as condições iniciais
e
:
No instante
, o impulso causa uma mudança instantânea na derivada de
. Integrando a equação diferencial de $t = 1^- $ a
, obtemos:
Como
e
, temos
.
Após o impulso (
), a solução homogênea passa a ter as condições iniciais
e
.
Passo 5
Agora, vamos escrever a solução para
usando a solução homogênea com as novas condições iniciais:
Aplicando as condições iniciais em
:
Para
:
Para
:
Derivando
:
Aplicando
:
Então:
Passo 6
Substituindo
e
na solução, temos para
:
Esta é a solução completa da equação diferencial para todo
.
Passo 7
Agora, queremos encontrar o tempo
onde
atinge seu valor mínimo e o valor mínimo
.
Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a derivada de
é zero (mínimo ou máximo). Derivando
:
Igualando a zero:
Resolvendo para
:
Então:
Isolando
:
Este é o valor de
onde
atinge seu mínimo.
Resposta
Portanto, o tempo quando a solução atinge seu valor mínimo é:
E o valor mínimo da solução é: