Considere o PVI associado a um oscilador amortecido
y'' + γ y' + y = δ(t - 1), y(0) = 0, y'(0) = 0
onde gamma é o coeficiente de amortecimento (ou resistencia)
Determine o valor t1 quando a solução atinge o seu valor mínimo. Determine também qual o valor y1 mínimo da solução.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve um oscilador amortecido:
Aqui, gamma é o coeficiente de amortecimento e é a função delta de Dirac, que representa um impulso aplicado no tempo . As condições iniciais são e . Nosso objetivo é descobrir em que momento a solução y(t) atinge seu valor mínimo .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com termos de impulso e sobre o comportamento de sistemas oscilatórios amortecidos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
Esta é uma equação característica de um oscilador amortecido. A solução geral depende das raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Dependendo do valor de gamma, temos diferentes tipos de solução: subamortecido ( ), criticamente amortecido ( ) ou superamortecido ( ). Para este exercício, vamos considerar o caso subamortecido, que é comum em osciladores amortecidos.

Passo 3

No caso subamortecido ( ), as raízes são complexas:
onde
A solução geral da equação homogênea é então:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa com o termo de impulso .

Passo 4

A função delta de Dirac representa um impulso no instante . Para lidar com esse termo, vamos utilizar as condições de continuidade e a descontinuidade na derivada de y(t) causadas pelo impulso.
Antes do impulso ( ), a solução é apenas a solução homogênea com as condições iniciais e :
No instante , o impulso causa uma mudança instantânea na derivada de y(t). Integrando a equação diferencial de $t = 1^- $ a , obtemos:
Como e , temos .
Após o impulso ( ), a solução homogênea passa a ter as condições iniciais e .

Passo 5

Agora, vamos escrever a solução para usando a solução homogênea com as novas condições iniciais:
Aplicando as condições iniciais em :
Para :
Para :
Derivando y(t):
Aplicando :
Então:

Passo 6

Substituindo e na solução, temos para :
Esta é a solução completa da equação diferencial para todo t ≥ 0.

Passo 7

Agora, queremos encontrar o tempo onde y(t) atinge seu valor mínimo e o valor mínimo .
Para isso, precisamos encontrar o ponto onde a derivada de y(t) é zero (mínimo ou máximo). Derivando y(t):
Igualando a zero:
Resolvendo para t:
Então:
Isolando t:
Este é o valor de onde y(t) atinge seu mínimo.

Resposta

Portanto, o tempo quando a solução atinge seu valor mínimo é:
E o valor mínimo da solução é:

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