Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:
f(t) = { t se t ≥ 1; 0 se t < 1 }

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar a transformada de Laplace da função que é igual a quando e igual a 0 quando . Para isso, vamos utilizar a definição da transformada de Laplace e técnicas de integração.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, como para , a integral começa a partir de :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
Vamos analisar cada parte:
  1. Primeiro termo :
    • Quando , , então o termo vira 0.
    • Quando , temos .
  2. Segundo termo :
    • A integral é .

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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