Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir:

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar a transformada de Laplace da função que é igual a quando e igual a 0 quando . Para isso, vamos utilizar a definição da transformada de Laplace e técnicas de integração.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, como para , a integral começa a partir de :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
Vamos analisar cada parte:
  1. Primeiro termo :
    • Quando , , então o termo vira 0.
    • Quando , temos .
  2. Segundo termo :
    • A integral é .

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Calcule , onde é dado por .
Usando coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido dado por e .
Considere o PVI associado a um oscilador amortecido
onde é o coeficiente de amortecimento (ou resistencia)
Determine o valor quando a solução atinge o seu valor mínimo. Determine também qual o valor mínimo da solução.