integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla aqui:
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) , dx , dy
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está definida para de 0 até , e para cada , varia de até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em integral0^raizpi integral0^x cos (x^2) , dy , dx e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Isso geralmente simplifica a resolução.
Desenhando, vemos que para cada de 0 até , varia de 0 até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a integral0^x cos (x^2) , dy = cos (x^2) cdot y |0^x = cos (x^2) cdot x . Como a função integral0^raizpi x cos (x^2) , dx não depende de , podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral dupla reduz para:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral simples. Para isso, vamos usar uma substituição:
  • Substituição: Seja integral0^raizpi x cos (x^2) , dx = 12 integral0^pi cos(u) , du . Então, ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 integral0^pi cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^pi = 12 ( sin(pi) - sin(0) ) :
12 (0 - 0) = 0
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral dupla vale 0.

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