Calcule integral triplaB x^2+y^2+z^2 d x d y d z, onde B é dado por x^2+y^2 <= z <= raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam lidar com simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As condições nos dizem que varia entre e . Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nesse sistema, .

Passo 3

Na coordenada cilíndrica, as desigualdades ficam:
r^2 <= z <= r
E o elemento de volume dV = r , dz , dr , dtheta se transforma em:
integral triplaB (x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^r (r^2 + z^2) , r , dz , dr , dtheta
Portanto, a integral tripla fica:
Aqui, limitamos até 1 porque garante que seja real e as desigualdades sejam válidas.

Passo 4

Vamos resolver a integral em integralr^2^r (r^2 + z^2) , r , dz = r integralr^2^r (r^2 + z^2) , dz primeiro:
r [ r^2z + z^33 ]r^2^r = r ( r^3 + r^33 - ( r^4 + r^63 ) )
Calculando a primitiva:
r ( 4r^33 - r^4 - r^63 ) = 4r^43 - r^5 - r^73
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos em integral0^1 ( 4r^43 - r^5 - r^73 ) dr = 43 cdot r^55 - r^66 - 13 cdot r^88 g|0^1 :
415 - 16 - 124 = 32120 - 20120 - 5120 = 7120
Calculando nos limites:

Passo 6

Por fim, integramos em integral0^2pi 7120 , dtheta = 7120 cdot 2pi = 7pi60 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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