Calcule , onde é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais múltiplas e geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam lidar com simetrias circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As condições nos dizem que varia entre e . Para simplificar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nesse sistema, .

Passo 3

Na coordenada cilíndrica, as desigualdades ficam:
E o elemento de volume se transforma em:
Portanto, a integral tripla fica:
Aqui, limitamos até 1 porque garante que seja real e as desigualdades sejam válidas.

Passo 4

Vamos resolver a integral em primeiro:
Calculando a primitiva:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos em :
Calculando nos limites:

Passo 6

Por fim, integramos em :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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