Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscritos a circunferência de equação x²+y²-6x-4y+12=0. Determine as equações das tetas que contêm as diagonais desse quadrado. Obs! Resposta é x-y-1=0 e x+y-5=0.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de geometria analítica. O enunciado fala sobre um quadrado cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e que está circunscrito a uma circunferência dada pela equação x² + y² - 6x - 4y + 12 = 0²². A gente precisa encontrar as equações das diagonais desse quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da circunferência. Ela está na forma geral:
x² + y² - 6x - 4y + 12 = 0 ²²
Para facilitar, vamos completar o quadrado para achar o centro e o raio da circunferência.

Passo 3

Completemos o quadrado:
Para x:
x² - 6x = (x - 3)² - 9 ²²
Para y:
y² - 4y = (y - 2)² - 4 ²²
Substituindo na equação original:
(x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + 12 = 0 (x - 3)² + (y - 2)² - 1 = 0 (x - 3)² + (y - 2)² = 1 ²²²²²²
Então, o centro da circunferência é C(3, 2) e o raio é r = 1.

Passo 4

Como o quadrado está circunscrito à circunferência e seus lados são paralelos aos eixos coordenados, isso significa que cada lado do quadrado toca a circunferência em um ponto. Além disso, as diagonais do quadrado se cruzam no centro da circunferência.

Passo 5

Vamos determinar os vértices do quadrado. Sabemos que o raio da circunferência é 1, então a distância do centro às laterais do quadrado também será 1.
Como os lados são paralelos aos eixos, as coordenadas dos vértices serão deslocadas uma certa distância do centro C(3, 2).
Digamos que o lado do quadrado seja 2a. Então, a distância do centro a cada lado será a = r = 1. Portanto, os lados do quadrado estarão a 1 unidade do centro em cada direção.

Passo 6

Assim, as coordenadas dos vértices serão:
(3 + 1, 2 + 1) = (4, 3) (3 + 1, 2 - 1) = (4, 1) (3 - 1, 2 + 1) = (2, 3) (3 - 1, 2 - 1) = (2, 1)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar as equações das diagonais do quadrado. As diagonais ligam os vértices opostos:
Primeira diagonal: de (4, 3) a (2, 1)
Segunda diagonal: de (4, 1) a (2, 3)

Passo 8

Vamos encontrar a equação da primeira diagonal usando os pontos (4, 3) e (2, 1).
A inclinação m é:
m = 1 - 32 - 4 = -2-2 = 1
Usando a forma y - y1 = m(x - x1):
y - 3 = 1(x - 4) y = x - 1
Então, a equação é x - y -1 = 0.

Passo 9

Agora, para a segunda diagonal usando os pontos (4, 1) e (2, 3).
A inclinação m é:
m = 3 - 12 - 4 = 2-2 = -1
Usando a forma y - y1 = m(x - x1):
y - 1 = -1(x - 4) y = -x + 5
Então, a equação é x + y -5 = 0.

Resposta

As equações das diagonais do quadrado são x - y -1 = 0 e x + y -5 = 0.

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