Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscritos a circunferência de equação x²+y²-6x-4y+12=0. Determine as equações das tetas que contêm as diagonais desse quadrado. Obs! Resposta é x-y-1=0 e x+y-5=0.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de geometria analítica. O enunciado fala sobre um quadrado cujos lados são paralelos aos eixos coordenados e que está circunscrito a uma circunferência dada pela equação
. A gente precisa encontrar as equações das diagonais desse quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da circunferência. Ela está na forma geral:
Para facilitar, vamos completar o quadrado para achar o centro e o raio da circunferência.
Passo 3
Completemos o quadrado:
Para x:
Para y:
Substituindo na equação original:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Passo 4
Como o quadrado está circunscrito à circunferência e seus lados são paralelos aos eixos coordenados, isso significa que cada lado do quadrado toca a circunferência em um ponto. Além disso, as diagonais do quadrado se cruzam no centro da circunferência.
Passo 5
Vamos determinar os vértices do quadrado. Sabemos que o raio da circunferência é 1, então a distância do centro às laterais do quadrado também será 1.
Como os lados são paralelos aos eixos, as coordenadas dos vértices serão deslocadas uma certa distância do centro
.
Digamos que o lado do quadrado seja
. Então, a distância do centro a cada lado será
. Portanto, os lados do quadrado estarão a 1 unidade do centro em cada direção.
Passo 6
Assim, as coordenadas dos vértices serão:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar as equações das diagonais do quadrado. As diagonais ligam os vértices opostos:
Primeira diagonal: de
a
Segunda diagonal: de
a
Passo 8
Vamos encontrar a equação da primeira diagonal usando os pontos
e
.
A inclinação
é:
Usando a forma
:
Então, a equação é
.
Passo 9
Agora, para a segunda diagonal usando os pontos
e
.
A inclinação
é:
Usando a forma
:
Então, a equação é
.
Resposta
As equações das diagonais do quadrado são
e
.