Considere
. Mostre que:
é fechado e
não é fechado.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o intervalo fechado
é fechado e que o intervalo semiaberto
não é fechado no espaço métrico
. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado em um espaço métrico. Isso nos ajudará a identificar se os intervalos dados satisfazem essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação (também conhecidos como pontos limite). Isso significa que se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para algum ponto, esse ponto limite também deve estar dentro do conjunto para que ele seja fechado.
Passo 3
Vamos analisar o intervalo fechado
. Nesse caso, qualquer sequência de números dentro de
que converge para um ponto
em
deve ter
também pertencendo a
para que o conjunto seja fechado. Como
inclui os pontos
e
, ele certamente contém todos os seus pontos de acumulação. Portanto,
é um conjunto fechado.
Passo 4
Agora, vamos considerar o intervalo semiaberto
, que pode ser escrito como
. Aqui, o intervalo inclui
mas não inclui
. Vamos verificar se todos os pontos de acumulação de
estão dentro do intervalo. Considere uma sequência que converge para
, como
para
grande. Cada termo dessa sequência está em
, mas o limite é
, que não está no intervalo. Portanto,
não contém todos os seus pontos de acumulação.
Resposta
Assim,
é um conjunto fechado em
, enquanto
não é fechado porque não contém todos os seus pontos de acumulação.