Seja
um espaço métrico. Mostre que: Se
é uma família arbitrária de abertos, então
é aberto.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço métrico
e uma família de conjuntos abertos
. A questão quer que a gente mostre que a união desses conjuntos,
, também é um conjunto aberto. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um espaço métrico, o que significa um conjunto ser aberto e como as propriedades desses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço métrico. Um espaço métrico
é um conjunto
acompanhado de uma função
que satisfaz certas propriedades: não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Essa função
é chamada de métrica e nos permite medir a “distância” entre dois pontos no conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta
está totalmente contida em
. Isso significa que, em torno de cada ponto de
, conseguimos encontrar uma “região segura” que não sai de
.
Passo 4
Sabemos que cada
na família
é um conjunto aberto. Ou seja, para qualquer ponto
, existe uma bola aberta
que está completamente dentro de
.
Passo 5
Queremos mostrar que a união desses conjuntos abertos,
, também é aberto. Para isso, pegamos um ponto qualquer
. Como
está em
, ele deve estar em pelo menos um dos conjuntos
da família.
Passo 6
Como
para algum
e
é aberto, existe uma bola aberta
tal que
. Mas como
, então
.
Passo 7
Portanto, para todo ponto
, conseguimos encontrar uma bola aberta ao seu redor que está completamente contida em
. Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.
Resposta
Assim, concluímos que a união arbitrária de conjuntos abertos
é um conjunto aberto no espaço métrico
.