Seja M, d um espaço métrico. Mostre que: Se A_lambda = { A_lambda | lambda em L } é uma família arbitrária de abertos, então A = União(lambda em L, A_lambda) é aberto.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço métrico M, d e uma família de conjuntos abertos A_lambda = { A_lambda | lambda em L }. A questão quer que a gente mostre que a união desses conjuntos, , também é um conjunto aberto. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um espaço métrico, o que significa um conjunto ser aberto e como as propriedades desses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço métrico. Um espaço métrico M, d é um conjunto M acompanhado de uma função que satisfaz certas propriedades: não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Essa função d é chamada de métrica e nos permite medir a “distância” entre dois pontos no conjunto M.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa um conjunto ser aberto em um espaço métrico. Um conjunto é aberto se, para todo ponto x em A, existe um raio tal que a bola aberta está totalmente contida em A. Isso significa que, em torno de cada ponto de A, conseguimos encontrar uma “região segura” que não sai de A.

Passo 4

Sabemos que cada na família A_lambda = { A_lambda | lambda em L } é um conjunto aberto. Ou seja, para qualquer ponto , existe uma bola aberta que está completamente dentro de .

Passo 5

Queremos mostrar que a união desses conjuntos abertos, , também é aberto. Para isso, pegamos um ponto qualquer x em A. Como x está em A, ele deve estar em pelo menos um dos conjuntos da família.

Passo 6

Como para algum e é aberto, existe uma bola aberta tal que . Mas como , então .

Passo 7

Portanto, para todo ponto x em A, conseguimos encontrar uma bola aberta ao seu redor que está completamente contida em A. Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.

Resposta

Assim, concluímos que a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto no espaço métrico M, d.

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