Seja M, d um espaço métrico. M e são fechados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que em um espaço métrico qualquer , os conjuntos e o conjunto vazio são fechados. Nosso objetivo é provar isso. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado em um espaço métrico e usar essa definição para mostrar que tanto quanto atendem aos critérios de fechamento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto fechado. Em um espaço métrico, um conjunto é considerado fechado se ele contém todos os seus pontos limite. Ou seja, se você pegar qualquer sequência de pontos dentro do conjunto que converge para algum ponto, esse ponto limite também deve estar dentro do conjunto.

Passo 3

Vamos começar analisando o conjunto . Como representa todo o espaço métrico, qualquer sequência de pontos que você pegar em obviamente terá seu limite também em , já que não há ponto “fora” de para onde a sequência possa convergir. Portanto, contém todos os seus pontos limite.

Passo 4

Já que contém todos os seus pontos limite, de acordo com a definição, isso significa que é um conjunto fechado.

Passo 5

Agora, vamos olhar para o conjunto vazio . Esse conjunto não contém nenhum ponto, então não há pontos limite para considerar. Como não há pontos que poderiam não estar no conjunto, a condição de conter todos os seus pontos limite é automaticamente satisfeita.

Resposta

Portanto, tanto quanto o conjunto vazio são conjuntos fechados em qualquer espaço métrico .

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