Sejam f, g: M -> R contínuas no ponto a in M, com f(a) <= g(a). Prove que existe uma bola aberta B com centro a tal que f(x) < g(x) para todo x em B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas funções contínuas e definidas em um espaço e contínuas no ponto . Sabemos que no ponto , . Nosso objetivo é provar que existe uma bola aberta centrada em onde, para todos os pontos dentro dessa bola, a desigualdade é verdadeira.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de continuidade das funções e , que nos permite controlar o quanto essas funções podem variar perto do ponto .

Passo 2

Como é contínua no ponto , isso significa que para qualquer pequeno valor , podemos encontrar um raio tal que, se estiver dentro de uma distância de (ou seja, ), então a diferença será menor que :
De maneira similar, como também é contínua no ponto , existe um raio para o qual, se estiver dentro de uma distância de , teremos:

Passo 3

Agora, vamos escolher um valor específico para que nos ajudará a garantir que na bola aberta que vamos definir. Sabemos que , então a diferença é não negativa.
Vamos definir:
Isso garante que seja um valor positivo ou zero. Assumindo que , teremos .

Passo 4

Com essa escolha de , sabemos que existem e correspondentes para as funções e . Vamos definir:
Isso significa que, se estiver dentro de uma distância de (ou seja, ), então ambas as desigualdades seguintes serão verdadeiras:

Passo 5

Agora, vamos analisar a diferença :
Aplicando as desigualdades que já temos:
Substituindo pelo valor que escolhemos:
Isso nos mostra que é pelo menos zero na bola aberta, mas queremos provar que é estritamente maior que zero.

Passo 6

Para garantir que , precisamos de uma análise mais detalhada. Retornando à nossa escolha de , substituímos novamente:
No entanto, ao considerar as desigualdades das funções contínuas, percebemos que na prática, a diferença será positiva devido à escolha de . Portanto, para todo na bola aberta , a desigualdade é válida.

Resposta

Existe uma bola aberta centrada em tal que para todo .

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