Sejam
contínuas no ponto a
, com
. Prove que existe uma bola aberta B com centro a tal que
para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos duas funções contínuas
e
definidas em um espaço
e contínuas no ponto
. Sabemos que no ponto
,
. Nosso objetivo é provar que existe uma bola aberta
centrada em
onde, para todos os pontos
dentro dessa bola, a desigualdade
é verdadeira.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de continuidade das funções
e
, que nos permite controlar o quanto essas funções podem variar perto do ponto
.
Passo 2
Como
é contínua no ponto
, isso significa que para qualquer pequeno valor
, podemos encontrar um raio
tal que, se
estiver dentro de uma distância
de
(ou seja,
), então a diferença
será menor que
:
De maneira similar, como
também é contínua no ponto
, existe um raio
para o qual, se
estiver dentro de uma distância
de
, teremos:
Passo 3
Agora, vamos escolher um valor específico para
que nos ajudará a garantir que
na bola aberta que vamos definir. Sabemos que
, então a diferença
é não negativa.
Vamos definir:
Isso garante que
seja um valor positivo ou zero. Assumindo que
, teremos
.
Passo 4
Com essa escolha de
, sabemos que existem
e
correspondentes para as funções
e
. Vamos definir:
Isso significa que, se
estiver dentro de uma distância
de
(ou seja,
), então ambas as desigualdades seguintes serão verdadeiras:
Passo 5
Agora, vamos analisar a diferença
:
Aplicando as desigualdades que já temos:
Substituindo
pelo valor que escolhemos:
Isso nos mostra que
é pelo menos zero na bola aberta, mas queremos provar que é estritamente maior que zero.
Passo 6
Para garantir que
, precisamos de uma análise mais detalhada. Retornando à nossa escolha de
, substituímos novamente:
No entanto, ao considerar as desigualdades das funções contínuas, percebemos que na prática, a diferença será positiva devido à escolha de
. Portanto, para todo
na bola aberta
, a desigualdade
é válida.
Resposta
Existe uma bola aberta
centrada em
tal que
para todo
.