Considere que .
Mostre que: nabla^2 1r=-4 pi de
onde de é a função delta de Dirac.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá que e nos pede para mostrar que o operador laplaciano aplicado a resulta em , onde é a função delta de Dirac. Isso está relacionado a cálculo vetorial e distribuições matemáticas, especialmente na teoria do eletromagnetismo e mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar entender o que é o operador laplaciano e a função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador laplaciano. Em coordenadas cartesianas, para uma função escalar nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 , o laplaciano é dado por:
Mas como vamos aplicar isso a , onde , é mais conveniente usar coordenadas esféricas.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o laplaciano para uma função que depende apenas da distância nabla^2 f(r) = 1r^2 ddr( r^2 dfdr ) é:
Vamos aplicar isso à função .
Passo 4
Calculando a primeira derivada de dfdr = ddr ( 1r ) = -1r^2 :
r^2 dfdr = r^2 ( -1r^2 ) = -1
Agora, multiplicamos por :
Passo 5
Agora, calculamos a derivada em relação a ddr (-1) = 0 do resultado acima:
nabla^2 ( 1r ) = 1r^2 times 0 = 0
Portanto, o laplaciano de é:
Passo 6
Até aqui, vimos que fora da origem (), o laplaciano de é zero. Porém, na origem (), a função tem uma singularidade, e o laplaciano não está definido de maneira clássica ali. É aí que entra a função delta de Dirac, que nos permite tratar essa singularidade.
Passo 7
A função delta de Dirac, integral-infty^infty de, é uma distribuição que satisfaz:
No nosso caso, inclui uma constante que, ao aplicar o operador laplaciano, resulta em . Isso é conhecido do teorema de Gauss em três dimensões, onde a integral do laplaciano sobre todo o espaço inclui uma contribuição na origem.
Passo 8
Assim, combinando os resultados fora da origem e na origem, concluímos que:
nabla^2 ( 1r ) = -4pi de
Isso mostra que o operador laplaciano de resulta na função delta de Dirac multiplicada por .