Considere que r=R-R^prime.
Mostre que: nabla^2 1r=-4 pi de
onde de é a função delta de Dirac.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá que e nos pede para mostrar que o operador laplaciano aplicado a resulta em , onde é a função delta de Dirac. Isso está relacionado a cálculo vetorial e distribuições matemáticas, especialmente na teoria do eletromagnetismo e mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar entender o que é o operador laplaciano e a função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador laplaciano. Em coordenadas cartesianas, para uma função escalar nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 , o laplaciano é dado por:
Mas como vamos aplicar isso a , onde , é mais conveniente usar coordenadas esféricas.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o laplaciano para uma função que depende apenas da distância nabla^2 f(r) = 1r^2 ddr( r^2 dfdr ) é:
Vamos aplicar isso à função .

Passo 4

Calculando a primeira derivada de dfdr = ddr ( 1r ) = -1r^2 :
r^2 dfdr = r^2 ( -1r^2 ) = -1
Agora, multiplicamos por :

Passo 5

Agora, calculamos a derivada em relação a ddr (-1) = 0 do resultado acima:
nabla^2 ( 1r ) = 1r^2 times 0 = 0
Portanto, o laplaciano de é:

Passo 6

Até aqui, vimos que fora da origem ( ), o laplaciano de é zero. Porém, na origem ( ), a função tem uma singularidade, e o laplaciano não está definido de maneira clássica ali. É aí que entra a função delta de Dirac, que nos permite tratar essa singularidade.

Passo 7

A função delta de Dirac, integral-infty^infty de, é uma distribuição que satisfaz:
No nosso caso, inclui uma constante que, ao aplicar o operador laplaciano, resulta em . Isso é conhecido do teorema de Gauss em três dimensões, onde a integral do laplaciano sobre todo o espaço inclui uma contribuição na origem.

Passo 8

Assim, combinando os resultados fora da origem e na origem, concluímos que:
nabla^2 ( 1r ) = -4pi de
Isso mostra que o operador laplaciano de resulta na função delta de Dirac multiplicada por .

Resposta

nabla^2 1r = -4 pi de

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Considere que r=R-R^prime.
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