Considere que r=R-R^prime.
Mostre que: nabla cdot(rr^2)=4 pi de

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor , e precisamos mostrar que a divergência de é igual a .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com o operador divergente ( ) e a função delta de Dirac ( ).
O que precisamos para resolver: Conhecer as definições de divergente, vetor unitário , e a função delta de Dirac, além de entender como aplicá-las em coordenadas esféricas.

Passo 2

Vamos começar expressando a divergência do campo nabla cdot A = 1r^2 partialpartial r (r^2 Ar) + 1r sin theta partialpartial theta (Atheta sin theta) + 1r sin theta partial Aphipartial phi . Em coordenadas esféricas, onde é o vetor unitário na direção radial, a divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então e .

Passo 3

Aplicando a fórmula da divergência:
nabla cdot ( rr^2 ) = 1r^2 partialpartial r ( r^2 cdot 1r^2 ) + 0 + 0
Simplificando:
nabla cdot ( rr^2 ) = 1r^2 partialpartial r (1) = 1r^2 cdot 0 = 0
Isso sugere que a divergência é zero em todos os pontos, exceto possivelmente em .

Passo 4

No entanto, sabemos que o resultado envolve a função delta de Dirac ( integralV (nabla cdot A) , dV = ointpartial V A cdot dS ), que é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em integralV nabla cdot ( rr^2 ) dV = ointpartial V rr^2 cdot dS , onde é infinita, e integra-se para 1 sobre todo o espaço.
Para capturar o comportamento no ponto , usamos a identidade de Gauss para divergência:
Aplicando isso ao nosso campo :

Passo 5

Escolhendo ointpartial V rr^2 cdot dS = 1R^2 cdot 4pi R^2 = 4pi como uma esfera de raio integralV nabla cdot ( rr^2 ) dV = 4pi centrada na origem, temos:
nabla cdot ( rr^2 ) = 4pi de
Então, integrando a divergência sobre todo o espaço, obtemos:
Para que isso seja válido apenas no ponto , introduzimos a função delta de Dirac:

Resposta

nabla cdot ( rr^2 ) = 4pi de

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Faça os cálculos em coordenadas cartesianas e esféricas.
Considere que r=R-R^prime.
Mostre que: nabla^2 1r=-4 pi de
onde de é a função delta de Dirac.