Considere que .
Mostre que: nabla cdot(rr^2)=4 pi de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor , e precisamos mostrar que a divergência de é igual a .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com o operador divergente () e a função delta de Dirac ().
O que precisamos para resolver: Conhecer as definições de divergente, vetor unitário , e a função delta de Dirac, além de entender como aplicá-las em coordenadas esféricas.
Passo 2
Vamos começar expressando a divergência do campo nabla cdot A = 1r^2 partialpartial r (r^2 Ar) + 1r sin theta partialpartial theta (Atheta sin theta) + 1r sin theta partial Aphipartial phi . Em coordenadas esféricas, onde é o vetor unitário na direção radial, a divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso sugere que a divergência é zero em todos os pontos, exceto possivelmente em .
Passo 4
No entanto, sabemos que o resultado envolve a função delta de Dirac ( integralV (nabla cdot A) , dV = ointpartial V A cdot dS ), que é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em integralV nabla cdot ( rr^2 ) dV = ointpartial V rr^2 cdot dS , onde é infinita, e integra-se para 1 sobre todo o espaço.
Para capturar o comportamento no ponto , usamos a identidade de Gauss para divergência:
Aplicando isso ao nosso campo :
Passo 5
Escolhendo ointpartial V rr^2 cdot dS = 1R^2 cdot 4pi R^2 = 4pi como uma esfera de raio integralV nabla cdot ( rr^2 ) dV = 4pi centrada na origem, temos:
nabla cdot ( rr^2 ) = 4pi de
Então, integrando a divergência sobre todo o espaço, obtemos:
Para que isso seja válido apenas no ponto , introduzimos a função delta de Dirac: