Um fio de aço, com 5 g e 1 m , é tencionado por uma força de 968 N . Calcular: (a) a velocidade de propagação das ondas transversais; (b) o comprimento de onda e a freqüência do modo fundamental; ( c ) a freqüência do terceiro harmônico; ( d ) escreva a função de onda que representa o terceiro harmônico, em função de uma amplitude y0 desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio de aço que pesa 5 gramas e tem 1 metro de comprimento, e ele está sendo puxado com uma força de 968 N. A matéria envolvida aqui é a mecânica das ondas em cordas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como as ondas se propagam em uma corda tencionada, calcular a velocidade das ondas, os comprimentos de onda, as frequências dos harmônicos e escrever a função de onda correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade de propagação das ondas transversais no fio. A velocidade v = raizTmu das ondas em uma corda é dada pela fórmula:
mu = 0,005, kg1, m = 0,005, kg/m
onde:
  • v = raiz968, N0,005, kg/m = raiz193600 approx 440, m/s é a tensão na corda (em Newtons),
  • é a massa por unidade de comprimento da corda (em kg/m).
Vamos calcular :
A massa do fio é 5 g, que é 0,005 kg, e o comprimento é 1 m, então:
Agora, substituímos os valores na fórmula da velocidade:

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): encontrar o comprimento de onda lambda1 = 2L e a frequência lambda1 = 2 times 1, m = 2, m do modo fundamental.
O modo fundamental é o primeiro harmônico, onde a corda tem um comprimento de onda que é duas vezes o comprimento da corda. A relação é:
v = f times lambda
onde f1 = vlambda1 = 440, m/s2, m = 220, Hz é o comprimento da corda.
Substituindo:
Para a frequência do modo fundamental, usamos a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar :

Passo 4

Passando para a parte ©: encontrar a frequência do terceiro harmônico.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Então, a frequência do terceiro harmônico f3 = 3 times f1 = 3 times 220, Hz = 660, Hz é:

Passo 5

Finalmente, na parte (d), precisamos escrever a função de onda que representa o terceiro harmônico, em função de uma amplitude yn(x, t) = y0 sin(npi xL) cos(2pi fn t) desconhecida.
A forma geral da função de onda para um harmônico y3(x, t) = y0 sin(3pi x1, m) cos(2pi times 660, Hz times t) é:
y3(x, t) = y0 sin(3pi x) cos(1320pi t)
Para o terceiro harmônico ( ):
Simplificando:

Resposta

(a) A velocidade de propagação das ondas transversais é aproximadamente .
(b) O comprimento de onda do modo fundamental é e a frequência é .
© A frequência do terceiro harmônico é .
(d) A função de onda que representa o terceiro harmônico é .

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