Considere uma rede cristalina cúbica de face centradas, CFC. Calcule a densidade atômica planar (DAP) para estes planos, em função de R;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a densidade atômica planar (DAP) para uma rede cristalina cúbica de face centradas (CFC), e expressar isso em função de
. Basicamente, vamos entender quantos átomos estão organizados em um determinado plano dentro dessa estrutura cristalina. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como os átomos estão dispostos na CFC e utilizar algumas fórmulas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é uma rede CFC. Nessa estrutura, além dos átomos nos vértices do cubo, tem também átomos no centro de cada face. Isso significa que, por cubo, temos 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado com outros 8 cubos, e 6 átomos nas faces, compartilhados com 2 cubos. Portanto, a quantidade total de átomos por cubo é:
Passo 3
Agora, vamos focar na Densidade Atômica Planar (DAP). A DAP é definida como o número de átomos presentes em uma determinada área de um plano cristalino. Para a CFC, vamos escolher o plano
, que é um dos planos mais densamente empacotados nessa estrutura.
Passo 4
Primeiro, precisamos determinar a área do plano
em um cubo CFC. Esse plano corta o cubo de forma que forma um triângulo equilátero. A aresta desse triângulo será a distância interatômica na direção
, que pode ser relacionada ao raio atômico
.
Sabemos que, na CFC, a relação entre a aresta do cubo
e o raio atômico
é:
Passo 5
A área do triângulo equilátero formado pelo plano
pode ser calculada usando a fórmula:
Onde o lado é
, já que a distância entre centros atômicos no plano
é
.
Substituindo:
Passo 6
Agora, precisamos saber quantos átomos estão presentes nesse plano
. Na CFC, cada plano
contém
átomos por unidade de área do cubo. Porém, para simplificar, consideramos que cada plano
corta 3 átomos totalmente (dado que cada átomo está compartilhado entre múltiplos planos).
Então, a DAP será:
Passo 7
Substituindo
:
Resposta
A densidade atômica planar para a rede CFC é: