Considere uma rede cristalina cúbica de face centradas, CFC. Calcule a densidade atômica planar (DAP) para estes planos, em função de R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a densidade atômica planar (DAP) para uma rede cristalina cúbica de face centradas (CFC), e expressar isso em função de . Basicamente, vamos entender quantos átomos estão organizados em um determinado plano dentro dessa estrutura cristalina. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre como os átomos estão dispostos na CFC e utilizar algumas fórmulas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é uma rede CFC. Nessa estrutura, além dos átomos nos vértices do cubo, tem também átomos no centro de cada face. Isso significa que, por cubo, temos 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado com outros 8 cubos, e 6 átomos nas faces, compartilhados com 2 cubos. Portanto, a quantidade total de átomos por cubo é:
Total de átomos por cubo = 88 + 62 = 1 + 3 = 4 átomos áá

Passo 3

Agora, vamos focar na Densidade Atômica Planar (DAP). A DAP é definida como o número de átomos presentes em uma determinada área de um plano cristalino. Para a CFC, vamos escolher o plano , que é um dos planos mais densamente empacotados nessa estrutura.

Passo 4

Primeiro, precisamos determinar a área do plano a = 2raiz2 , R em um cubo CFC. Esse plano corta o cubo de forma que forma um triângulo equilátero. A aresta desse triângulo será a distância interatômica na direção , que pode ser relacionada ao raio atômico .
Sabemos que, na CFC, a relação entre a aresta do cubo e o raio atômico é:

Passo 5

A área do triângulo equilátero formado pelo plano A = raiz34 times (lado)^2 pode ser calculada usando a fórmula:
A = raiz34 times (araiz33)^2 = raiz34 times 3a^29 = raiz34 times a^23 = raiz3 , a^212
Onde o lado é , já que a distância entre centros atômicos no plano é .
Substituindo:

Passo 6

Agora, precisamos saber quantos átomos estão presentes nesse plano DAP = Número de átomos no planoÁrea do plano = 3raiz3 , a^212 = 3 times 12raiz3 , a^2 = 36raiz3 , a^2 = 36raiz3 times (2raiz2 , R)^2 . Na CFC, cada plano contém átomos por unidade de área do cubo. Porém, para simplificar, consideramos que cada plano corta 3 átomos totalmente (dado que cada átomo está compartilhado entre múltiplos planos).
Então, a DAP será:
úáÁ

Passo 7

Substituindo DAP = 36raiz3 times 8 , R^2 = 368raiz3 , R^2 = 92raiz3 , R^2 = 9raiz36 , R^2 = 3raiz32 , R^2 :

Resposta

A densidade atômica planar para a rede CFC é:
DAP = 3raiz32 , R^2

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