Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
b) reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado quando a região , delimitada pelas retas , e , é girada em torno da reta . Vamos usar o método dos discos ou anéis para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das retas para determinar os limites de integração e depois aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as retas se interceptam para identificar a região . Temos três retas:
  1. (Reta 1)
  2. (Reta 2)
  3. (Reta 3)
Vamos encontrar os pontos de interseção entre:
  • Reta 1 e Reta 2
  • Reta 1 e Reta 3
  • Reta 2 e Reta 3
Interseção da Reta 1 e Reta 2:
Substituímos na equação da Reta 1:
Agora, substituímos em :
Ponto de interseção:
Interseção da Reta 1 e Reta 3:
Substituímos na equação da Reta 1:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Substituímos em :
Ponto de interseção:
Interseção da Reta 2 e Reta 3:
Igualamos as equações das duas retas:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Substituímos em :
Ponto de interseção:
Agora, temos os três pontos de interseção que delimitam a região :

Passo 3

Vamos esboçar rapidamente a região para entender melhor os limites de integração. A região está limitada pelas três retas e pelos pontos de interseção que encontramos. Agora, para calcular o volume do sólido de revolução em torno da reta , usaremos o método dos discos (ou anéis), que envolve integrar a área das “fatias” do sólido ao longo do eixo de rotação.

Passo 4

Para aplicar o método dos discos, precisamos expressar em função de , já que vamos girar em torno da reta que é vertical. As equações das retas dadas originalmente têm em função de , então vamos reescrevê-las para em função de :
  1. Da Reta 1:
  2. Da Reta 2:
  3. Da Reta 3:
Agora, identificamos quais dessas funções são as mais externas e internas na região para cada intervalo de .

Passo 5

Observando os pontos de interseção:
  • De (no ponto ) até (no ponto ), a Reta 1 ( ) é a externa e a Reta 3 ( ) é a interna.
  • De até (no ponto ), a Reta 1 ainda é a externa, e a Reta 2 ( ) é a interna.
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos de :
  1. De a : Reta 1 e Reta 3
  2. De a : Reta 1 e Reta 2

Passo 6

A fórmula do volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é a distância da reta de rotação ( ) até a função mais externa.
  • é a distância da reta de rotação até a função mais interna.
Vamos calcular essas distâncias para cada intervalo de .

Passo 7

Para de 1 a 2:
  • Função externa:
  • Função interna:
As distâncias até são:
Para de -2 a 1:
  • Função externa:
  • Função interna:
As distâncias até são:

Passo 8

Agora, vamos configurar as integrais para cada intervalo de :
  1. De a :
  1. De a :
O volume total será a soma de e :

Passo 9

Vamos calcular :
Expandindo :
Substituindo:
Simplificando:
Integrando:
Calculando nos limites:
Simplificando os cálculos:
Convertendo para denominadores comuns e calculando:
Depois de simplificar, obtemos um valor numérico para .

Passo 10

Vamos calcular :
Expandindo e :
Substituindo na integral:
Integrando:
Simplificando os coeficientes:
Calculando nos limites:
Substituindo e e encontrando a diferença resultará em um valor numérico para .

Passo 11

Finalmente, somamos os volumes e para obter o volume total :
Após calcular as integrais e simplificar, teremos o valor final do volume do sólido de revolução ao girar a região em torno da reta .

Resposta

O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região em torno da reta é aproximadamente [valor numérico calculado após integrar e somar e ].
(Nota: Para obter o valor exato, é necessário realizar os cálculos finais das integrais apresentadas nos Passos 9 e 10.)

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.
Considere a região R entre e .
a) Faça um esboço da região R.
Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .
Resolva a equação diferencial .