Considere a região R entre
e
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
em torno de:
b) reta
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
b) reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado quando a região
, delimitada pelas retas
,
e
, é girada em torno da reta
. Vamos usar o método dos discos ou anéis para encontrar esse volume. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das retas para determinar os limites de integração e depois aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as retas se interceptam para identificar a região
. Temos três retas:
-
(Reta 1) -
(Reta 2) -
(Reta 3)
Vamos encontrar os pontos de interseção entre:
- Reta 1 e Reta 2
- Reta 1 e Reta 3
- Reta 2 e Reta 3
Interseção da Reta 1 e Reta 2:
Substituímos
na equação da Reta 1:
Agora, substituímos
em
:
Ponto de interseção:
Interseção da Reta 1 e Reta 3:
Substituímos
na equação da Reta 1:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Substituímos
em
:
Ponto de interseção:
Interseção da Reta 2 e Reta 3:
Igualamos as equações das duas retas:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Substituímos
em
:
Ponto de interseção:
Agora, temos os três pontos de interseção que delimitam a região
:
Passo 3
Vamos esboçar rapidamente a região
para entender melhor os limites de integração. A região está limitada pelas três retas e pelos pontos de interseção que encontramos. Agora, para calcular o volume do sólido de revolução em torno da reta
, usaremos o método dos discos (ou anéis), que envolve integrar a área das “fatias” do sólido ao longo do eixo de rotação.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos, precisamos expressar
em função de
, já que vamos girar em torno da reta
que é vertical. As equações das retas dadas originalmente têm
em função de
, então vamos reescrevê-las para
em função de
:
- Da Reta 1:
→ - Da Reta 2:
→ → - Da Reta 3:
→ →
Agora, identificamos quais dessas funções são as mais externas e internas na região
para cada intervalo de
.
Passo 5
Observando os pontos de interseção:
- De
(no ponto ) até (no ponto ), a Reta 1 ( ) é a externa e a Reta 3 ( ) é a interna. - De
até (no ponto ), a Reta 1 ainda é a externa, e a Reta 2 ( ) é a interna.
Vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a esses intervalos de
:
- De
a : Reta 1 e Reta 3 - De
a : Reta 1 e Reta 2
Passo 6
A fórmula do volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância da reta de rotação ( ) até a função mais externa. -
é a distância da reta de rotação até a função mais interna.
Vamos calcular essas distâncias para cada intervalo de
.
Passo 7
Para
de 1 a 2:
- Função externa:
- Função interna:
As distâncias até
são:
Para
de -2 a 1:
- Função externa:
- Função interna:
As distâncias até
são:
Passo 8
Agora, vamos configurar as integrais para cada intervalo de
:
- De
a :
- De
a :
O volume total
será a soma de
e
:
Passo 9
Vamos calcular
:
Expandindo
:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando:
Calculando nos limites:
Simplificando os cálculos:
Convertendo para denominadores comuns e calculando:
Depois de simplificar, obtemos um valor numérico para
.
Passo 10
Vamos calcular
:
Expandindo
e
:
Substituindo na integral:
Integrando:
Simplificando os coeficientes:
Calculando nos limites:
Substituindo
e
e encontrando a diferença resultará em um valor numérico para
.
Passo 11
Finalmente, somamos os volumes
e
para obter o volume total
:
Após calcular as integrais e simplificar, teremos o valor final do volume do sólido de revolução ao girar a região
em torno da reta
.
Resposta
O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno da reta
é aproximadamente
[valor numérico calculado após integrar e somar
e
].
(Nota: Para obter o valor exato, é necessário realizar os cálculos finais das integrais apresentadas nos Passos 9 e 10.)
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.
Considere a região R entre
e
.
a) Faça um esboço da região R.
a) Faça um esboço da região R.
Considere a região R entre
e
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
c) reta
Resolva a equação diferencial
.