Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dá a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial exata, que é
. Assim, temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Como as derivadas são iguais, a equação é realmente exata.
Passo 4
Encontramos agora uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em rela��ão a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Observando que
, podemos simplificar e igualar as partes que dependem de
:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a região R entre
e
.
a) Faça um esboço da região R.
a) Faça um esboço da região R.
Considere a equação diferencial abaixo:
a) De que tipo é esta equação diferencial? Justifique.
Considere a região R entre
e
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
b) reta .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
b) reta
Considere a região R entre
e
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
c) reta