Considere a equação diferencial abaixo:
ln(x-1) + 2y dy = y dx / (1-x)
b) Resolva esta equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dá a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial exata, que é . Assim, temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Como as derivadas são iguais, a equação é realmente exata.

Passo 4

Encontramos agora uma função potencial F(x, y) tal que:
Vamos integrar M em rela��ão a x:
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
Observando que , podemos simplificar e igualar as partes que dependem de y:
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é a constante de integração.

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