Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de problema cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dá a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial exata, que é . Assim, temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Como as derivadas são iguais, a equação é realmente exata.

Passo 4

Encontramos agora uma função potencial tal que:
Vamos integrar em rela��ão a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Observando que , podemos simplificar e igualar as partes que dependem de :
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Considere a região R entre e .
a) Faça um esboço da região R.
Considere a equação diferencial abaixo:
a) De que tipo é esta equação diferencial? Justifique.
Considere a região R entre e .
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b) reta .
Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .