) Considere a região tridimensional E delimitada superiormente pelo paraboloide de equação z = 16-x2-y2 e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0. A respeito dessa região, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: 1. O volume da região E pode ser calculado por meio da integral tripla v=Sdz dr de PORQUE II. Podemos descrever a região E em coordenadas cilíndricas como E = {(r, 0, z)|0 ≤ r ≤ 16, 0 ≤ 0 ≤ n,052≤4) Agora, assinale a alternativa correta: Selecione uma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma região tridimensional $ E $ que é delimitada por um paraboloide $ z = 16 - x^2 - y^2 $ na parte de cima e pelo plano $ xy $ ($ z = 0 $) na parte de baixo. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrais triplas. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos simetria circular, como neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, usamos $ x $, $ y $ e $ z $ para localizar um ponto no espaço. Já nas coordenadas cilíndricas, usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo que a projeção do ponto no plano $ xy $ faz com o eixo $ x $) e $ z $ (a mesma coordenada $ z $ do sistema cartesiano).

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações que delimitam a região $ E $ em coordenadas cilíndricas. A equação do paraboloide fica:
E
E o plano que limita a região de baixo é simplesmente $ z = 0 $.

Passo 4

Para encontrar os limites de integração, observamos que o paraboloide intercepta o plano $ xy $ quando $ z = 0 $:
xy
Então, $ r $ varia de 0 a 4. O ângulo $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (uma volta completa). E $ z $ varia de 0 até a superfície do paraboloide, ou seja, de 0 a $ 16 - r^2 $.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume $ V $:
V
Aqui, o $ r $ na frente da integral vem do Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas, que ajusta a “escala” da integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a $ z $ primeiro:
z
Agora, nossa integral fica:
integral0^16 - r^2 r , dz = r [ z ]0^16 - r^2 = r (16 - r^2)

Passo 7

Resolvemos a integral em relação a $ r $:
r
Calculando:
integral0^4 r (16 - r^2) , dr = integral0^4 (16r - r^3) , dr = [ 8r^2 - 14r^4 ]0^4
Agora, nossa integral fica:
8(4)^2 - 14(4)^4 = 8 times 16 - 14 times 256 = 128 - 64 = 64

Passo 8

Por fim, resolvemos a integral em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume da região $ E $ é $ 128\pi $ unidades cúbicas.

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