) Considere a região tridimensional E delimitada superiormente pelo paraboloide de equação z = 16-x2-y2 e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0. A respeito dessa região, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: 1. O volume da região E pode ser calculado por meio da integral tripla v=Sdz dr de PORQUE II. Podemos descrever a região E em coordenadas cilíndricas como E = {(r, 0, z)|0 ≤ r ≤ 16, 0 ≤ 0 ≤ n,052≤4) Agora, assinale a alternativa correta: Selecione uma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma região tridimensional $ E $ que é delimitada por um paraboloide $ z = 16 - x^2 - y^2 $ na parte de cima e pelo plano $ xy $ ($ z = 0 $) na parte de baixo. Nosso objetivo é calcular o volume dessa região usando integrais triplas. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando temos simetria circular, como neste caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que são coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cartesianas, usamos $ x $, $ y $ e $ z $ para localizar um ponto no espaço. Já nas coordenadas cilíndricas, usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo que a projeção do ponto no plano $ xy $ faz com o eixo $ x $) e $ z $ (a mesma coordenada $ z $ do sistema cartesiano).
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações que delimitam a região $ E $ em coordenadas cilíndricas. A equação do paraboloide fica:
E o plano que limita a região de baixo é simplesmente $ z = 0 $.
Passo 4
Para encontrar os limites de integração, observamos que o paraboloide intercepta o plano $ xy $ quando $ z = 0 $:
Então, $ r $ varia de 0 a 4. O ângulo $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (uma volta completa). E $ z $ varia de 0 até a superfície do paraboloide, ou seja, de 0 a $ 16 - r^2 $.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume $ V $:
Aqui, o $ r $ na frente da integral vem do Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas, que ajusta a “escala” da integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a $ z $ primeiro:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Resolvemos a integral em relação a $ r $:
Calculando:
Agora, nossa integral fica:
Passo 8
Por fim, resolvemos a integral em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume da região $ E $ é $ 128\pi $ unidades cúbicas.