Considere a região {(x, y) ∈ R² | x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ x^(-3)}, esboçada na segunda ilustração da Figura 2. Determine a área desta região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região definida por e . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas. Vamos precisar saber como integrar funções e entender limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos lidando. A condição significa que estamos olhando para valores de que começam em 1 e vão até o infinito. Já nos diz que, para cada , varia de 0 até .

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função em relação a , começando de até tendendo ao infinito. A fórmula da área será:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 1 até infinito:

Passo 6

Calculando os limites:
Então:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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