Considere a região
, esboçada na segunda ilustração da Figura 2. Determine a área desta região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região definida por
e
. A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas. Vamos precisar saber como integrar funções e entender limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos lidando. A condição
significa que estamos olhando para valores de
que começam em 1 e vão até o infinito. Já
nos diz que, para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a função
em relação a
, começando de
até
tendendo ao infinito. A fórmula da área
será:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 1 até infinito:
Passo 6
Calculando os limites:
Então:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
, que são paralelas à reta de equação
.
O gráfico de
.
Prove que
é constante.
Calcule
.