Calcule lim x 4 raizx+5-3x-4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 4 para a expressão . Aqui, estamos lidando com limites e funções envolvendo radicais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que têm raízes quadradas e aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente raiz4 + 5 - 34 - 4 = raiz9 - 30 = 3 - 30 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Ops! A gente se depara com uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para conseguir simplificar e encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma expressão com uma raiz quadrada no numerador e obtemos uma indeterminação raizx+5 - 3x - 4 times raizx+5 + 3raizx+5 + 3 , uma técnica útil é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é .
Então, vamos multiplicar a expressão por :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
No numerador:
(raizx+5 - 3)(raizx+5 + 3) = (raizx+5)^2 - (3)^2 = x + 5 - 9 = x - 4
No denominador:
(x - 4)(raizx+5 + 3)
Então, a expressão fica:
x - 4(x - 4)(raizx+5 + 3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a expressão cancelando o 1raizx+5 + 3 do numerador e do denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo 1raiz4 + 5 + 3 = 1raiz9 + 3 = 13 + 3 = 16 :

Resposta

O limite é .

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