Prove que
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função
é constante. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas. Vamos precisar lembrar como calcular a derivada de funções que são produtos de outras funções e entender o que significa uma função ser constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser constante. Se uma função é constante, isso quer dizer que seu valor não muda, não importa o valor de
. Em termos de cálculo, isso significa que a derivada dessa função é zero em todos os pontos.
Passo 3
Então, para provar que
é constante, precisamos mostrar que a derivada de
, que vamos chamar de
, é igual a zero para todo
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Aqui temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. A Regra do Produto diz que se temos
, então a derivada é
.
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Os termos
se cancelam:
Passo 7
Para
ser constante, precisamos que
para todo
. Então:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor de
, então para a equação ser verdadeira, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:
Passo 8
A equação
é uma equação diferencial. Isso quer dizer que a função
deve satisfazer essa equação para que
, o que confirma que
é constante.
Resposta
Portanto, mostramos que a derivada de
é zero, ou seja,
, o que prova que
é uma função constante.
Exercícios relacionados
Considere a região
, esboçada na segunda ilustração da Figura 2. Determine a área desta região.
Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
, que são paralelas à reta de equação
.
Calcule
.
Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.