Prove que g(x) = e^x (f'(x) - f(x)) é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função é constante. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas. Vamos precisar lembrar como calcular a derivada de funções que são produtos de outras funções e entender o que significa uma função ser constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser constante. Se uma função é constante, isso quer dizer que seu valor não muda, não importa o valor de . Em termos de cálculo, isso significa que a derivada dessa função é zero em todos os pontos.

Passo 3

Então, para provar que é constante, precisamos mostrar que a derivada de , que vamos chamar de , é igual a zero para todo .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Aqui temos um produto de duas funções: e . Para derivar um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto. A Regra do Produto diz que se temos , então a derivada é .

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
Sabemos que e . Então:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Os termos se cancelam:

Passo 7

Para ser constante, precisamos que para todo . Então:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor de , então para a equação ser verdadeira, o que está dentro dos parênteses deve ser zero:

Passo 8

A equação é uma equação diferencial. Isso quer dizer que a função deve satisfazer essa equação para que , o que confirma que é constante.

Resposta

Portanto, mostramos que a derivada de é zero, ou seja, , o que prova que é uma função constante.

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