Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de f, que são paralelas à reta de equação y = x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações das retas que são tangentes ao gráfico de uma função e que são paralelas à reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular (a inclinação) das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas são paralelas se elas têm o mesmo coeficiente angular. A reta tem coeficiente angular igual a 1. Então, queremos encontrar as retas tangentes ao gráfico de que também têm coeficiente angular igual a 1.

Passo 3

Para encontrar as retas tangentes com coeficiente angular 1, precisamos que a derivada da função no ponto de tangência seja igual a 1. A derivada nos dá exatamente essa inclinação. Então, vamos resolver a equação para encontrar os valores de onde a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 4

Depois de encontrar os valores de que satisfazem , vamos calcular os correspondentes valores de nesses pontos. Esses valores serão as ordenadas dos pontos de tangência.

Passo 5

Com os pontos de tangência e sabendo que a inclinação da reta tangente é 1, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Como , a equação fica:
Simplificando:

Resposta

As equações das retas tangentes ao gráfico de , paralelas à reta , são dadas por:
onde são os valores de que satisfazem .

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