Determine as equações das retas tangentes ao gráfico de
, que são paralelas à reta de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as equações das retas que são tangentes ao gráfico de uma função
e que são paralelas à reta
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular (a inclinação) das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que duas retas são paralelas se elas têm o mesmo coeficiente angular. A reta
tem coeficiente angular igual a 1. Então, queremos encontrar as retas tangentes ao gráfico de
que também têm coeficiente angular igual a 1.
Passo 3
Para encontrar as retas tangentes com coeficiente angular 1, precisamos que a derivada da função
no ponto de tangência seja igual a 1. A derivada
nos dá exatamente essa inclinação. Então, vamos resolver a equação
para encontrar os valores de
onde a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 4
Depois de encontrar os valores de
que satisfazem
, vamos calcular os correspondentes valores de
nesses pontos. Esses valores serão as ordenadas dos pontos de tangência.
Passo 5
Com os pontos de tangência
e sabendo que a inclinação da reta tangente é 1, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Como
, a equação fica:
Simplificando:
Resposta
As equações das retas tangentes ao gráfico de
, paralelas à reta
, são dadas por:
onde
são os valores de
que satisfazem
.
Exercícios relacionados
O gráfico de
.
Os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
Considere a região
, esboçada na segunda ilustração da Figura 2. Determine a área desta região.
Prove que
é constante.