Considere a relação de ordem da divisibilidade em N. Quais dos seguintes subconjuntos de N são totalmente ordenados? 5,15,30.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente analisar um conjunto de números naturais, especificamente 5, 15, 30, e verificar se ele é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Isso significa que, para qualquer par de números desse conjunto, um deve dividir o outro sem deixar resto. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma relação de ordem e como aplicar a divisibilidade para verificar se o conjunto está totalmente ordenado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Em matemática, uma relação de ordem é uma maneira de comparar elementos de um conjunto para ver quem “vem antes” ou “é menor que” o outro. No nosso caso, a relação de ordem é a divisibilidade. Ou seja, dizemos que um número a está relacionado a um número b ( a mid b) se a divide b exatamente, sem deixar resto.

Passo 3

Agora, para o conjunto 5, 15, 30 ser totalmente ordenado pela divisibilidade, precisamos que, para todo par de números dentro desse conjunto, um deles divida o outro. Vamos verificar isso passo a passo:
  1. 5 e 15:
    • 5 mid 15? Sim, porque 15 ÷ 5 = 3 exatamente.
  2. 5 e 30:
    • 5 mid 30? Sim, porque 30 ÷ 5 = 6 exatamente.
  3. 15 e 30:
    • 15 mid 30? Sim, porque 30 ÷ 15 = 2 exatamente.

Passo 4

Como vimos, para todos os pares de números no conjunto 5, 15, 30, um número divide o outro sem deixar resto. Isso confirma que a relação de divisibilidade está totalmente ordenada nesse conjunto.

Resposta

O subconjunto 5, 15, 30 é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade.

Exercícios relacionados