Considere a relação de ordem da divisibilidade em . Quais dos seguintes subconjuntos de são totalmente ordenados? .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente analisar um conjunto de números naturais, especificamente , e verificar se ele é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade. Isso significa que, para qualquer par de números desse conjunto, um deve dividir o outro sem deixar resto. Para resolver isso, a gente precisa entender o que é uma relação de ordem e como aplicar a divisibilidade para verificar se o conjunto está totalmente ordenado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de ordem. Em matemática, uma relação de ordem é uma maneira de comparar elementos de um conjunto para ver quem “vem antes” ou “é menor que” o outro. No nosso caso, a relação de ordem é a divisibilidade. Ou seja, dizemos que um número está relacionado a um número () se divide exatamente, sem deixar resto.
Passo 3
Agora, para o conjunto ser totalmente ordenado pela divisibilidade, precisamos que, para todo par de números dentro desse conjunto, um deles divida o outro. Vamos verificar isso passo a passo:
5 e 15:
? Sim, porque exatamente.
5 e 30:
? Sim, porque exatamente.
15 e 30:
? Sim, porque exatamente.
Passo 4
Como vimos, para todos os pares de números no conjunto , um número divide o outro sem deixar resto. Isso confirma que a relação de divisibilidade está totalmente ordenada nesse conjunto.
Resposta
O subconjunto é totalmente ordenado pela relação de divisibilidade.