Verifique que as interseções das retas e são os vértices do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as interseções das retas dadas são os vértices de um quadrado. Isso envolve trabalhar com geometria analítica, especificamente com a interseção de retas e propriedades dos quadrados. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos onde as retas se cruzam e depois verificar se esses pontos formam um quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas que temos:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas, ou seja, onde duas retas se encontram.

Passo 3

Vamos começar encontrando o ponto de interseção entre a primeira reta e a segunda reta .
Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
Vamos usar o método da substituição. Da Eq. 1, isolamos :
Agora, substituímos esse valor na Eq. 2:
Agora, substituímos na expressão de :
Então, o primeiro ponto de interseção é .

Passo 4

Vamos agora encontrar o ponto de interseção entre a primeira reta e a terceira reta .
Escrevendo as equações:
Percebemos que ambas têm o mesmo coeficiente para e , mas constantes diferentes. Isso significa que essas retas são paralelas e nunca se intersectam. Portanto, não há ponto de interseção entre elas.

Passo 5

Como não há interseção entre as retas 1 e 3, vamos encontrar o ponto de interseção entre a segunda reta e a quarta reta .
Escrevendo as equações:
Assim como antes, as retas possuem os mesmos coeficientes para e mas constantes diferentes, o que indica que são paralelas. Portanto, não há ponto de interseção entre elas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre a terceira reta e a quarta reta .
Reescrevendo as equações:
Vamos usar o método de substituição novamente. Da Eq. 4, isolamos :
Substituímos na Eq. 3:
Agora, substituímos na expressão de :
Então, o segundo ponto de interseção é .

Passo 7

Até aqui, temos apenas dois pontos de interseção: e . Como as outras interseções não existem devido às retas serem paralelas, parece que as retas dadas não formam um quadrado completo, pois precisamos de quatro vértices.

Passo 8

Vamos reavaliar as retas para garantir que não deixamos passar nenhuma interseção. Observando as equações, percebemos que:
  • As retas 1 e 3 são paralelas.
  • As retas 2 e 4 também são paralelas.
Portanto, só temos duas interseções possíveis: uma entre as retas 1 e 2 ( ) e outra entre as retas 3 e 4 ( ). Para formar um quadrado, precisaríamos de quatro pontos, indicando que as retas fornecidas não formam os quatro vértices de um quadrado.

Resposta

Após analisar as interseções das retas, constatamos que apenas dois pontos são formados ( e ), o que não é suficiente para formar um quadrado. Portanto, as interseções das retas dadas não são os vértices de um quadrado.

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