Indique uma relação binária
definida no conjunto
que seja uma ordem parcial, mas não total.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto $ A = {\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}} $ e precisa definir uma relação binária $ R $ nesse conjunto. Aquela relação precisa ser uma ordem parcial, mas não pode ser uma ordem total. Para isso, vamos precisar entender o que é uma ordem parcial e como ela difere de uma ordem total.
Passo 2
Primeiro, uma relação binária $ R $ em um conjunto $ A $ é basicamente um conjunto de pares ordenados onde cada par é formado por elementos de $ A $. Por exemplo, $ (a, b) $ significa que há uma relação de $ a $ para $ b $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ordem parcial. Uma relação $ R $ é uma ordem parcial se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, $ (x, x) $ está em $ R $ para todo $ x $ em $ A $.
- Antissimétrica: Se $ (x, y) $ está em $ R $ e $ (y, x) $ também está, então $ x = y $.
- Transitiva: Se $ (x, y) $ está em $ R $ e $ (y, z) $ está em $ R $, então $ (x, z) $ também está em $ R $.
Passo 4
Por outro lado, uma ordem total é uma ordem parcial que, além das três propriedades acima, também satisfaz a totalidade: para todo par distinto $ x $ e $ y $ em $ A $, ou $ (x, y) $ está em $ R $ ou $ (y, x) $ está em $ R $. Ou seja, todo mundo está comparado com todo mundo.
Passo 5
Como a questão pede uma ordem parcial que não seja total, precisamos garantir que existam pelo menos dois elementos em $ A $ que não estão comparados na relação $ R $. Isso significa que, para esses dois elementos, nem $ (x, y) $ nem $ (y, x) $ estão em $ R $.
Passo 6
Vamos construir a relação $ R $ passo a passo:
- Reflexividade: Incluímos $ (a, a) $, $ (b, b) $ e $ (c, c) $.
- Antissimetria e Transitividade: Vamos adicionar $ (a, b) $ e $ (a, c) $. Não colocamos $ (b, a) $ ou $ (c, a) $ para manter a antissimetria.
- Ausência de Totalidade: Não adicionamos relações entre $ b $ e $ c $, de modo que eles fiquem incomparáveis.
Passo 7
Portanto, a relação $ R $ fica assim:
Resposta
A relação binária $ R $ definida por
é uma ordem parcial no conjunto $ A = {\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}} $ que não é uma ordem total.