Considere a restrição de sec (x) definida a seguir:
rlr sec : (0, pi / 2) cup(pi / 2, pi) & longrightarrow & (-infty,-1) cup(1, infty) x & longmapsto sec (x)
Verifique em vizinhança de que pontos se pode usar o TFI. Se y=sec (x), a inversa é o arcossecante de y. Isto é: x=arcsec(y) é o arco cuja secante vale y. Calcule a derivada de arcsec(y) na vizinhança de algum ponto dentro das hipóteses do TFI.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado! Temos a função sec(x), que está definida nos intervalos (0, pi / 2) e (pi / 2, pi), e mapeia para (-infty, -1) e (1, infty), respectivamente. Nosso objetivo aqui é verificar onde podemos aplicar o Teorema da Função Inversa (TFI) e, em seguida, calcular a derivada da função inversa, que é a arcossecante, arcsec(y).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Basicamente, ele nos diz que se uma função é diferenciável e tem uma derivada diferente de zero em um ponto, então a sua função inversa também é diferenciável nesse ponto. Isso significa que podemos calcular a derivada da função inversa usando a derivada da função original.

Passo 3

Agora, precisamos verificar em quais pontos podemos aplicar o TFI para a função sec(x). Para isso, a função precisa ser contínua e diferenciável nos intervalos considerados, e sua derivada não deve ser zero nesses pontos.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de sec(x). Sabemos que:
ddx sec(x) = sec(x) tan(x)
Essa derivada nunca é zero no domínio considerado, já que tanto sec(x) quanto tan(x) nunca são zero nesses intervalos. Portanto, o TFI pode ser aplicado em qualquer ponto dentro de (0, pi / 2) e (pi / 2, pi).

Passo 5

Agora que sabemos que podemos aplicar o TFI, vamos calcular a derivada da função inversa, que é arcsec(y). Segundo o TFI, a derivada da função inversa é:
dxdy = 1dydx
Onde y = sec(x). Já calculamos dydx = sec(x) tan(x).

Passo 6

Precisamos expressar sec(x) e tan(x) em termos de y. Como y = sec(x), temos que tan(x) = raizy^2 - 1. Assim, substituindo na expressão da derivada, temos:
dydx = y raizy^2 - 1

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula da derivada da função inversa:
dxdy = 1y raizy^2 - 1

Resposta

A derivada de arcsec(y) é:
ddy arcsec(y) = 1y raizy^2 - 1

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