Considere a restrição de
definida a seguir:
Verifique em vizinhança de que pontos se pode usar o TFI. Se
, a inversa é o arcossecante de
. Isto é:
é o arco cuja secante vale
. Calcule a derivada de
na vizinhança de algum ponto dentro das hipóteses do TFI.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado! Temos a função
, que está definida nos intervalos
e
, e mapeia para
e
, respectivamente. Nosso objetivo aqui é verificar onde podemos aplicar o Teorema da Função Inversa (TFI) e, em seguida, calcular a derivada da função inversa, que é a arcossecante,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Basicamente, ele nos diz que se uma função é diferenciável e tem uma derivada diferente de zero em um ponto, então a sua função inversa também é diferenciável nesse ponto. Isso significa que podemos calcular a derivada da função inversa usando a derivada da função original.
Passo 3
Agora, precisamos verificar em quais pontos podemos aplicar o TFI para a função
. Para isso, a função precisa ser contínua e diferenciável nos intervalos considerados, e sua derivada não deve ser zero nesses pontos.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Sabemos que:
Essa derivada nunca é zero no domínio considerado, já que tanto
quanto
nunca são zero nesses intervalos. Portanto, o TFI pode ser aplicado em qualquer ponto dentro de
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que podemos aplicar o TFI, vamos calcular a derivada da função inversa, que é
. Segundo o TFI, a derivada da função inversa é:
Onde
. Já calculamos
.
Passo 6
Precisamos expressar
e
em termos de
. Como
, temos que
. Assim, substituindo na expressão da derivada, temos:
Passo 7
Agora, substituindo na fórmula da derivada da função inversa:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Decida se a função
pode ser inversa de
em algum domínio.
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada.
Determine o domínio da função
.
Se
e
são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto
, então
é inversível?
?