Se
e
são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto
, então
é inversível?
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas funções
e
que são inversíveis, ou seja, ambas possuem funções inversas. Ambas têm como domínio o conjunto
. A questão é determinar se a soma
e o produto
também são funções inversíveis. Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa uma função ser inversível e quais são as condições para que a soma ou o produto de duas funções também sejam inversíveis.
Passo 2
Uma função é inversível se ela for bijetora, isto é, se for injetora e sobrejetora. Uma função injetora não associa dois elementos diferentes do domínio ao mesmo elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora cobre todo o conjunto de chegada. Se
e
são inversíveis, então ambas são bijetoras.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma
. Para que
seja inversível, ela também precisa ser bijetora. No entanto, a soma de duas funções bijetoras nem sempre resulta em uma função bijetora. Por exemplo, considere
e
, onde
é uma constante. Aqui,
e
são inversíveis, mas
, que é uma função constante e não é injetora, portanto, não é inversível.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar o produto
. Similarmente à soma, para que
seja inversível, ela também precisa ser bijetora. Contudo, o produto de duas funções bijetoras nem sempre resulta em uma função bijetora. Por exemplo, se
e
, ambos são inversíveis, mas
, que é uma função constante e não é injetora, então não é inversível.
Resposta
Nem a soma
nem o produto
de duas funções inversíveis são necessariamente funções inversíveis.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
.
Considere a restrição de
definida a seguir:
Verifique em vizinhança de que pontos se pode usar o TFI. Se
, a inversa é o arcossecante de
. Isto é:
é o arco cuja secante vale
. Calcule a derivada de
na vizinhança de algum ponto dentro das hipóteses do TFI.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(q) .
(q)
Calcule