Se f e g são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto D, então f + g é inversível? E f g ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas funções e que são inversíveis, ou seja, ambas possuem funções inversas. Ambas têm como domínio o conjunto . A questão é determinar se a soma e o produto também são funções inversíveis. Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa uma função ser inversível e quais são as condições para que a soma ou o produto de duas funções também sejam inversíveis.

Passo 2

Uma função é inversível se ela for bijetora, isto é, se for injetora e sobrejetora. Uma função injetora não associa dois elementos diferentes do domínio ao mesmo elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora cobre todo o conjunto de chegada. Se e são inversíveis, então ambas são bijetoras.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma . Para que seja inversível, ela também precisa ser bijetora. No entanto, a soma de duas funções bijetoras nem sempre resulta em uma função bijetora. Por exemplo, considere e , onde é uma constante. Aqui, e são inversíveis, mas , que é uma função constante e não é injetora, portanto, não é inversível.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar o produto . Similarmente à soma, para que seja inversível, ela também precisa ser bijetora. Contudo, o produto de duas funções bijetoras nem sempre resulta em uma função bijetora. Por exemplo, se e , ambos são inversíveis, mas , que é uma função constante e não é injetora, então não é inversível.

Resposta

Nem a soma nem o produto de duas funções inversíveis são necessariamente funções inversíveis.

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rlr sec : (0, pi / 2) cup(pi / 2, pi) & longrightarrow & (-infty,-1) cup(1, infty) x & longmapsto sec (x)
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