Decida se a função f^(-1)(y) = arcsen(ln(y^2)) pode ser inversa de f(x) = raiz(e^(sen(x))) em algum domínio.

Passo 1

Beleza! A gente vai analisar se a função inversa proposta, , realmente é a inversa da função em algum domínio. Vamos usar conceitos de funções inversas e entender os domínios onde isso faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se e são inversas, então:
Isso deve ser válido dentro dos domínios onde as funções estão definidas.

Passo 3

Vamos começar verificando a composição . Substituindo na função :

Passo 4

Sabemos que é a função inversa de , ou seja, , desde que esteja no intervalo . Aplicando isso:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Para que , precisamos que . Isso acontece quando . Portanto, dentro desse intervalo, a composição funciona.

Passo 6

Agora, vamos verificar a outra composição . Substituindo na função :
Simplificando:
Então:
Desde que esteja no intervalo , onde e são funções inversas.

Passo 7

Resumindo, as composições e são válidas quando:
  • para a primeira composição.
  • está no intervalo para a segunda composição.

Resposta

Sim, a função é inversa de quando consideramos que e está no intervalo . Nessas condições, as funções são inversas uma da outra.

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