Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir todos os valores de
para os quais a função está definida. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e valores permitidos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte interna da função: . A função (ou seno inverso) só está definida quando o seu argumento está entre -1 e 1, ou seja:
Isso nos dá uma primeira condição para
.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, adicionamos 4 em todos os lados para isolar
:
Então, o valor absoluto de
deve estar entre 3 e 5. Isso significa que:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que
tem no denominador. Então, para a função estar definida, o denominador não pode ser zero:
Sabemos que , então precisamos que:
Isso significa que
não pode ser 4 nem -4.
Passo 5
Combinando as condições anteriores:
-
deve estar entre -5 e -3 ou entre 3 e 5. -
não pode ser 4 nem -4.
Então, excluindo esses pontos, o domínio fica dividido em quatro intervalos:
Resposta
O domínio da função é:
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Considere a restrição de
definida a seguir:
Verifique em vizinhança de que pontos se pode usar o TFI. Se
, a inversa é o arcossecante de
. Isto é:
é o arco cuja secante vale
. Calcule a derivada de
na vizinhança de algum ponto dentro das hipóteses do TFI.
Decida se a função
pode ser inversa de
em algum domínio.
Se
e
são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto
, então
é inversível?
?
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(q) .
(q)