Determine o domínio da função f(x) = 1/arcsen(|x|-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir todos os valores de para os quais a função está definida. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e valores permitidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte interna da função: . A função (ou seno inverso) só está definida quando o seu argumento está entre -1 e 1, ou seja:
Isso nos dá uma primeira condição para .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, adicionamos 4 em todos os lados para isolar :
Então, o valor absoluto de deve estar entre 3 e 5. Isso significa que:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que tem no denominador. Então, para a função estar definida, o denominador não pode ser zero:
Sabemos que , então precisamos que:
Isso significa que não pode ser 4 nem -4.

Passo 5

Combinando as condições anteriores:
  1. deve estar entre -5 e -3 ou entre 3 e 5.
  2. não pode ser 4 nem -4.
Então, excluindo esses pontos, o domínio fica dividido em quatro intervalos:

Resposta

O domínio da função é:

Exercícios relacionados

Considere a restrição de sec (x) definida a seguir:
rlr sec : (0, pi / 2) cup(pi / 2, pi) & longrightarrow & (-infty,-1) cup(1, infty) x & longmapsto sec (x)
Verifique em vizinhança de que pontos se pode usar o TFI. Se y=sec (x), a inversa é o arcossecante de y. Isto é: x=arcsec(y) é o arco cuja secante vale y. Calcule a derivada de arcsec(y) na vizinhança de algum ponto dentro das hipóteses do TFI.
Decida se a função f^(-1)(y) = arcsen(ln(y^2)) pode ser inversa de f(x) = raiz(e^(sen(x))) em algum domínio.
Se f e g são duas funções inversíveis, com domínio em um conjunto D, então f + g é inversível? E f g ?
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
(q) r = 1 - 2 sen t.