Considere os resultados finais de Estatística de 20 estudantes de uma Universidade:
9 14 12 8 14 12 16 16 8 14
11 12 12 11 11 18 14 18 15 15
(a) Os dados em estudo são de tipo qualitativo ou quantitativo?
(b) Construa a tabela de frequências.
© Represente graficamente a informação.
(d) Calcule as medidas: média, mediana e moda.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
(f) Calcule e interprete o coeficiente de variação.
(g) Calcule a amplitude da amostra e a amplitude interquartil.
(h) Calcule o valor do percentil 48 e do decil.
(i) Represente os dados numa caixa de bigodes.
(j) Estude a distribuição quanto à assimetria e achatamento.
(k) Elabore um pequeno texto que integre toda a informação anterior, sem esquecer de referir o que pode dizer sobre a existência de valores atípicos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Estatística juntos! A gente tem os resultados finais de 20 estudantes de uma universidade e precisa analisar esses dados de várias formas. Vamos precisar entender se os dados são qualitativos ou quantitativos, montar tabelas de frequência, fazer gráficos, calcular médias, medianas, modas, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, amplitude, percentis, e até pensar na distribuição dos dados. Vamos descomplicar cada parte passo a passo!

Passo 2

(a) Os dados em estudo são de tipo qualitativo ou quantitativo?
Primeiro, vamos entender o tipo de dado que temos. Dados quantitativos são números que representam uma quantidade e podem ser medidos ou contados, como as notas dos estudantes. Já dados qualitativos descrevem categorias ou características, como cores ou nomes.
Aqui, as notas são números que mostram o desempenho dos estudantes, então são dados quantitativos.

Passo 3

(b) Construa a tabela de frequências.
Tabela de frequência mostra quantas vezes cada valor aparece nos dados. Vamos listar os valores únicos e contar quantas vezes cada um ocorre.
Primeiro, organizamos os dados em ordem crescente:
8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 18, 18
Agora, montamos a tabela:
Nota Frequência
8 2
9 1
11 3
12 4
14 4
15 2
16 2
18 2

Passo 4

© Represente graficamente a informação.
Vamos fazer um gráfico de histograma, que é ótimo para visualizar a distribuição das notas.
No histograma, no eixo horizontal (x) colocamos as notas e no eixo vertical (y) a frequência de cada nota.
Frequência
|
4 |       ■■■■       ■■■■
3 |       ■■■
2 | ■■    ■■    ■■    ■■
1 |    ■
  ---------------------------
       8  9 11 12 14 15 16 18
          Notas dos Estudantes

Passo 5

(d) Calcule as medidas: média, mediana e moda.
Média:
A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
é
é
Mediana:
A mediana é o valor que está no meio dos dados ordenados. Como temos 20 dados, é a média entre o 10º e o 11º valor.
Dados ordenados: 8, 8, 9, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 18, 18
Moda:
A moda é o valor que mais se repete.
Aqui, as notas 12 e 14 aparecem 4 vezes cada. Então, temos duas modas, ou seja, os dados são bimodais.

Passo 6

(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
Variância:
A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média.
Primeiro, calculamos a diferença de cada valor para a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de dados.
â
Onde e .
Vamos calcular cada termo:
Somando todos:
â
Desvio Padrão:
É a raiz quadrada da variância.
ã

Passo 7

(f) Calcule e interprete o coeficiente de variação.
O coeficiente de variação (CV) mostra a relação entre o desvio padrão e a média, expressando a variabilidade relativa.
Onde e .
Interpretação:
Um CV de 23% indica que a variabilidade das notas é moderada em relação à média. Ou seja, as notas não estão muito espalhadas, mas há alguma variação entre os estudantes.

Passo 8

(g) Calcule a amplitude da amostra e a amplitude interquartil.
Amplitude da amostra:
É a diferença entre o maior e o menor valor.
áí
Amplitude Interquartil (AIQ):
A AIQ é a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1).
Primeiro, achamos Q1 (25%) e Q3 (75%) nos dados ordenados.
Com 20 dados:
º
º

Passo 9

(h) Calcule o valor do percentil 48 e do 8º decil.
Percentil 48:
O percentil 48 é o valor abaixo do qual 48% dos dados estão.
Arredondamos para o 10º valor:
8º Decil:
Decil é similar ao percentil, mas divide os dados em 10 partes. O 8º decil é o 80º percentil.
Arredondamos para o 17º valor:

Passo 10

(i) Represente os dados numa caixa de bigodes.
A caixa de bigodes (ou boxplot) mostra a distribuição dos dados, incluindo Q1, mediana, Q3, e possíveis valores atípicos.
Com base nos dados:
  • Valor Mínimo: 8
  • Q1: 11
  • Mediana: 13
  • Q3: 16
  • Valor Máximo: 18
8 ────|–––––––––––––––––––––––––|──── 18
      Q1=11        Mediana=13      Q3=16
Na representação, a caixa vai de Q1 a Q3 com uma linha na mediana. Os “bigodes” se estendem até os valores mínimo e máximo.

Passo 11

(j) Estude a distribuição quanto à assimetria e achatamento.
Assimetria:
A assimetria indica se a distribuição é simétrica ou se puxa para um lado.
  • Se a média > mediana, distribuição é assimétrica à direita (positiva).
  • Se a média < mediana, é assimétrica à esquerda (negativa).
  • Se média ≈ mediana, é simétrica.
Aqui,
é
Como a média é menor que a mediana, a distribuição é assimétrica à esquerda.
Achatamento (Curtose):
Indica se a distribuição é mais “pontiaguda” ou “achatada” em comparação com uma distribuição normal.
Sem um cálculo detalhado da curtose, baseando-se na distribuição dos dados:
  • Com várias modas e dispersão moderada, a distribuição tende a ser levemente achatada.

Passo 12

(k) Elabore um pequeno texto que integre toda a informação anterior, sem esquecer de referir o que pode dizer sobre a existência de valores atípicos.
Analisando os resultados finais de 20 estudantes, observamos que as notas são dados quantitativos com uma média de 12 e mediana de 13, indicando uma distribuição ligeiramente assimétrica à esquerda. A moda está presente em duas notas, 12 e 14, mostrando que esses valores são os mais frequentes. Com uma variância de 7,6 e desvio padrão de aproximadamente 2,76, percebemos uma variabilidade moderada nas notas, refletida em um coeficiente de variação de 23%. A amplitude da amostra é de 10, e a amplitude interquartil de 5, sugerindo uma dispersão concentrada na metade central dos dados. O percentil 48 é 12 e o 8º decil é 16, mostrando a distribuição dos estudantes ao longo das notas. A caixa de bigodes confirma a assimetria à esquerda e uma leve achatamento na distribuição. Não há valores atípicos evidentes, já que os dados se concentram dentro de um intervalo razoável sem desvios extremos. Em geral, a an��lise demonstra uma distribuição equilibrada com algumas variações entre os estudantes, mas sem extremos significativos.

Resposta

Concluímos que as notas dos 20 estudantes são dados quantitativos com média de 12, mediana de 13, e modas em 12 e 14. A variabilidade é moderada (variância 7,6; desvio padrão ≈2,76; CV ≈23%). A amplitude é 10 e a amplitude interquartil é 5. O percentil 48 é 12 e o 8º decil é 16. A distribuição é levemente assimétrica à esquerda e levemente achatada, sem valores atípicos evidentes.

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Qualidade das refeições No de alunos
Deficiente 1
Normal 9
Boa 27
Muito boa 13
50
(a) Defina e classifique a variável em estudo.
(b) Diga o que representa o valor 50 .
© Qual é a percentagem de alunos que considera a qualidade das refeições (d) Represente graficamente a distribuição.
(e) Calcule as medidas de tendência central adequadas para esta distribuição.
(f) Numa frase simples, procure explicar qual é a opinião destes alunos sobre a qualidade das refeições servidas na referida cantina.
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N. de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
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(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.