Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? Com base nesse resultado você continuaria produzindo peças com esta máquina levando em consideração uma grande produção de peças por dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a probabilidade de, em 20 peças produzidas pela máquina em um dia, exatamente 3 serem defeituosas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 20 peças) e cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso (não defeituosa) ou falha (defeituosa). Precisamos também saber a probabilidade de uma peça ser defeituosa, mas como não foi dada, vamos assumir que é conhecida ou fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas é dada por:
Aqui:
  • é o coeficiente binomial, que calcula as maneiras de escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso (peça defeituosa).
  • é a probabilidade de falha (peça não defeituosa).

Passo 3

Vamos identificar os valores:
  • (número total de peças)
  • (número de peças defeituosas)
  • = probabilidade de uma peça ser defeituosa (vamos supor, por exemplo, que ou 10%)

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial:
binom203 = 20!3!(20-3)! = 20 times 19 times 183 times 2 times 1 = 1140

Passo 5

Agora, aplicando os valores na fórmula:
P(X = 3) = 1140 times (0,1)^3 times (0,9)^17

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  • P(X = 3) = 1140 times 0,001 times 0,166 approx 0,189
Multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade de ocorrerem exatamente 3 peças defeituosas em 20 produzidas é de aproximadamente 18,9%. Com base nessa probabilidade, se a taxa de defeitos for aceitável para a produção em grande escala, você pode continuar usando a máquina. Porém, se essa taxa for considerada alta, pode ser necessário realizar ajustes ou manutenção na máquina para melhorar a qualidade das peças produzidas.

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