Considere a reta r : cx=4 t y=3-t e o ponto A=(0,2). Determine a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto x = 4t y = 3 - t e que é paralela à reta definida pelas equações paramétricas:
Então, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas paralelas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a direção de uma reta e usar isso para encontrar a equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a direção da reta Vetor direção = (4, -1) . As equações paramétricas nos mostram como e mudam em relação ao parâmetro . A direção da reta é dada pelo vetor direção, que é composto pelos coeficientes de nas equações paramétricas.
Então, para a reta :
çã
Isso significa que, para cada aumento de 1 unidade em , aumenta 4 unidades e diminui 1 unidade.

Passo 3

Como queremos uma reta paralela a x = 0 + 4t y = 2 - t , ela deve ter o mesmo vetor direção, ou seja, x = 4t y = 2 - t . Agora, precisamos encontrar a equação dessa nova reta que passa pelo ponto .
Vamos usar a forma paramétrica da reta com o ponto e o vetor direção:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, na forma x = 4t implies t = x4 , onde y = 2 - ( x4 ) = -14x + 2 é o coeficiente angular (slope) e é o coeficiente linear (intercepto).
Primeiro, isolamos na equação de :
Substituímos na equação de :

Resposta

A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto y = -14x + 2 e é paralela à reta é:

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