Considere as retas r:(1,2)+t(1,-2) e s:(0,1) t(3,5). Determine a medida do ângulo entre as retas r e s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas, a reta r e a reta s, e precisa descobrir o ângulo entre elas. Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial, especificamente a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r é dada por (1,2) + t(1,-2), então o vetor diretor é v = (1, -2). Já a reta s é (0,1) + t(3,5), então o vetor diretor é w = (3, 5).

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = v cdot w|v| cdot |w|
Onde:
  • v cdot w é o produto escalar dos vetores.
  • |v| e |w| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar v cdot w:
v cdot w = (1)(3) + (-2)(5) = 3 - 10 = -7

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|v| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
|w| = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -7raiz5 cdot raiz34 = -7raiz170

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno desse valor:
theta = arccos(-7raiz170)

Passo 8

Calculando o valor numérico:
theta approx arccos(-713.0384) approx arccos(-0.537) approx 126,5^circ

Resposta

O ângulo entre as retas r e s mede aproximadamente 126,5^circ.

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