As moedas de um determinado pais são de três tipos: de 3 g que vale ; de 5 g que vale e de 9 g que vale .
Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600 g , somando . Quantas moedas de cada tipo essa pessoa possui?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos três tipos de moedas com pesos e valores diferentes:
Moeda de 3g que vale R$ 10
Moeda de 5g que vale R$ 20
Moeda de 9g que vale R$ 50
Uma pessoa possui 100 moedas no total, que juntas pesam 600g e somam R$ 2800. Nosso objetivo é descobrir quantas moedas de cada tipo essa pessoa tem. Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações, que nos permite relacionar essas informações de forma matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos definir variáveis para representar a quantidade de cada tipo de moeda:
= número de moedas de 3g
= número de moedas de 5g
= número de moedas de 9g
Passo 3
Sabemos que o total de moedas é 100. Então, temos a primeira equação:
Passo 4
Também sabemos que o peso total das moedas é 600g. Cada tipo de moeda pesa um valor diferente, então multiplicamos a quantidade de cada tipo pelo seu peso e somamos:
Passo 5
Além disso, o valor total das moedas é R$ 2800. Novamente, multiplicamos a quantidade de cada tipo pelo seu valor e somamos:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 7
Vamos simplificar a terceira equação dividindo todos os termos por 10:
x + 2y + 5z = 280
Agora nosso sistema fica:
x + y + z = 100 3x + 5y + 9z = 600 x + 2y + 5z = 280
Passo 8
Vamos eliminar (x + 2y + 5z) - (x + y + z) = 280 - 100 y + 4z = 180 subtraindo a primeira equação da terceira:
y + 4z = 180
Agora temos uma nova equação:
Passo 9
Vamos agora eliminar 3x + 3y + 3z = 300 usando a primeira e a segunda equação. Multiplicamos a primeira equação por 3: