As moedas de um determinado pais são de três tipos: de 3 g que vale R ; de 5 g que vale ; de 5 g que va<= e de 9 g que vale 20.
Uma pessoa tem cem moedas, num total de 600 g , somando R . Quantas moedas de cada tipo essa pessoa possui?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos três tipos de moedas com pesos e valores diferentes:
  • Moeda de 3g que vale R$ 10
  • Moeda de 5g que vale R$ 20
  • Moeda de 9g que vale R$ 50
Uma pessoa possui 100 moedas no total, que juntas pesam 600g e somam R$ 2800. Nosso objetivo é descobrir quantas moedas de cada tipo essa pessoa tem. Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações, que nos permite relacionar essas informações de forma matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos definir variáveis para representar a quantidade de cada tipo de moeda:
  • = número de moedas de 3g
  • = número de moedas de 5g
  • = número de moedas de 9g

Passo 3

Sabemos que o total de moedas é 100. Então, temos a primeira equação:
x + y + z = 100

Passo 4

Também sabemos que o peso total das moedas é 600g. Cada tipo de moeda pesa um valor diferente, então multiplicamos a quantidade de cada tipo pelo seu peso e somamos:
3x + 5y + 9z = 600

Passo 5

Além disso, o valor total das moedas é R$ 2800. Novamente, multiplicamos a quantidade de cada tipo pelo seu valor e somamos:
10x + 20y + 50z = 2800

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
x + y + z = 100 3x + 5y + 9z = 600 10x + 20y + 50z = 2800
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 7

Vamos simplificar a terceira equação dividindo todos os termos por 10:
x + 2y + 5z = 280
Agora nosso sistema fica:
x + y + z = 100 3x + 5y + 9z = 600 x + 2y + 5z = 280

Passo 8

Vamos eliminar (x + 2y + 5z) - (x + y + z) = 280 - 100 y + 4z = 180 subtraindo a primeira equação da terceira:
y + 4z = 180
Agora temos uma nova equação:

Passo 9

Vamos agora eliminar 3x + 3y + 3z = 300 usando a primeira e a segunda equação. Multiplicamos a primeira equação por 3:
(3x + 5y + 9z) - (3x + 3y + 3z) = 600 - 300 2y + 6z = 300
Subtraímos essa da segunda equação:
y + 3z = 150
Simplificando dividindo por 2:

Passo 10

Agora temos duas equações com y + 4z = 180 y + 3z = 150 e (y + 4z) - (y + 3z) = 180 - 150 z = 30 :
Vamos subtrair a segunda da primeira para encontrar :

Passo 11

Com y + 3(30) = 150 y + 90 = 150 y = 60 , substituímos na equação :

Passo 12

Agora que temos x + 60 + 30 = 100 x + 90 = 100 x = 10 e , substituímos na primeira equação :

Resposta

A pessoa possui 10 moedas de 3g, 60 moedas de 5g e 30 moedas de 9g.

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