Considere a reta r que passa pelo ponto (-5,-3,8) e tem a direção do vetor (2,-9,18).
Determine 5 pontos da reta r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Geometria Analítica! A gente tem uma reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor . Nosso objetivo é encontrar 5 pontos que estão nessa reta. Para isso, vamos usar as equações paramétricas da reta, que nos ajudam a encontrar qualquer ponto da reta a partir de um ponto inicial e de um vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações paramétricas. Elas são uma forma de descrever a reta usando uma variável, geralmente chamada de x = x0 + a cdot t y = y0 + b cdot t z = z0 + c cdot t . A ideia é que, conforme alteramos o valor de , obtemos diferentes pontos na reta. As equações paramétricas para uma reta no espaço são dadas por:
Onde:
  • é um ponto da reta (no nosso caso, ),
  • é o vetor de direção da reta (no nosso caso, ),
  • é um número real que varia.

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da nossa reta x = -5 + 2t y = -3 - 9t z = 8 + 18t usando os valores que temos:

Passo 4

Com as equações paramétricas prontas, vamos escolher diferentes valores para e calcular os pontos correspondentes. Vamos escolher valores simples para facilitar os cálculos, como , , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada ponto substituindo os valores de x = -5 + 2(0) = -5 y = -3 - 9(0) = -3 z = 8 + 18(0) = 8 nas equações:
  1. Para x = -5 + 2(1) = -3 y = -3 - 9(1) = -12 z = 8 + 18(1) = 26 :
    x = -5 + 2(-1) = -7 y = -3 - 9(-1) = 6 z = 8 + 18(-1) = -10
    Ponto: x = -5 + 2(2) = -1 y = -3 - 9(2) = -21 z = 8 + 18(2) = 44
  2. Para x = -5 + 2(-2) = -9 y = -3 - 9(-2) = 15 z = 8 + 18(-2) = -28 :
    Ponto:
  3. Para :
    Ponto:
  4. Para :
    Ponto:
  5. Para :
    Ponto:

Resposta

Os 5 pontos da reta &(-5, -3, 8) &(-3, -12, 26) &(-7, 6, -10) &(-1, -21, 44) &(-9, 15, -28) são:

Exercícios relacionados

Seja T: R^2 R^3 a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y,-x, 0).
a) Ache a matriz associada a T relativa as bases A=(1,3),(-2,4) e B=(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0).
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^3 raizx y^2+7 x y+2
Plote as seguintes elipses:
x^2+8 x+y^2-8 y=0
Plote os seguintes paraboloides:
z=x^2+4 x+y^2-6 y+15