Seja T: R^2 R^3 a transformação linear definida por T(x, y)=(x+2 y,-x, 0).
a) Ache a matriz associada a T relativa as bases A=(1,3),(-2,4) e B=(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa essa transformação nas bases dadas:
  • Base para
  • Base para
Vamos precisar entender como transformar os vetores da base através de e depois expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformação T(1, 3) = (1 + 2 cdot 3, -1, 0) = (7, -1, 0) em cada vetor da base T(-2, 4) = (-2 + 2 cdot 4, 2, 0) = (6, 2, 0) .
Para o vetor :
Para o vetor :

Passo 3

Agora, precisamos expressar esses vetores resultantes T(vi) = a cdot (1,1,1) + b cdot (2,2,0) + c cdot (3,0,0) e a + 2b + 3c = 7 a + 2b = -1 a = 0 em termos da base 0 + 2b = -1 Rightarrow b = -12 . Ou seja, queremos encontrar coeficientes 0 + 2 cdot (-12) + 3c = 7 Rightarrow -1 + 3c = 7 Rightarrow c = 83 tais que:
a + 2b + 3c = 6 a + 2b = 2 a = 0
para 0 + 2b = 2 Rightarrow b = 1 .
Vamos resolver para 0 + 2 cdot 1 + 3c = 6 Rightarrow 2 + 3c = 6 Rightarrow c = 43 :
Da terceira equação, . Substituindo na segunda equação:
E na primeira:
Portanto, .
Agora, para :
Da terceira equação, . Substituindo na segunda equação:
E na primeira:
Portanto, .

Passo 4

Com as coordenadas obtidas, montamos a matriz de [T]A^B = 0 & 0 -12 & 1 83 & 43 relativa às bases e . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas de na base .
Então, a matriz fica assim:

Resposta

A matriz associada a [T]A^B = 0 & 0 -dfrac12 & 1 dfrac83 & dfrac43 relativa às bases e é

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f(x, y)=x y^3 raizx y^2+7 x y+2
Seja T o operador linear no R^3 definido por T(x, y, z)=(2 y+z, x-4 y, 3 x).
Encontre a matriz de T na base B=(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0).
Considere a reta r que passa pelo ponto (-5,-3,8) e tem a direção do vetor (2,-9,18).
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Plote as seguintes elipses:
x^2+8 x+y^2-8 y=0