Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados; vou explicar cada um conforme a gente avança.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é o produto de
e
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que se você tem duas funções multiplicando, a derivada é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Vamos chamar:
Então,
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é:
Agora, substituindo de volta:
Podemos simplificar, mas por enquanto, vamos deixar assim.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do produto. Temos:
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Substituindo de volta:
Podemos também simplificar essa expressão, mas vamos manter assim por enquanto.
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Seja
o operador linear no
definido por
.
Encontre a matriz de na base
.
Encontre a matriz de
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Seja
a transformação linear definida por
.
a) Ache a matriz associada a relativa as bases
e
.
a) Ache a matriz associada a
Considere a reta r que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Determine 5 pontos da reta r.
Determine 5 pontos da reta r.