Considere as retas , em que e . Verifique se as retas e são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro retas no espaço tridimensional, cada uma definida por um ponto inicial e um vetor de direção. Nosso objetivo é comparar cada par dessas retas para ver se elas são coincidentes (são a mesma reta), paralelas (têm a mesma direção, mas não se encontram), concorrentes (se cruzam em um ponto) ou reversas (não são paralelas nem concorrentes, então não se cruzam). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores de direção de cada reta. A reta passa por e , então o vetor de direção é:
Fazendo o mesmo para as outras retas:
Passo 3
Agora, para cada par de retas e , vamos comparar os vetores de direção para ver se são proporcionais (o que indicaria paralelismo ou coincidência). Se os vetores não forem proporcionais, verificamos se as retas se intersectam calculando se existe um ponto que satisfaz as equações paramétricas de ambas.
Passo 4
Vamos começar comparando e .
Vetores de direção:
Vamos ver se existe um escalar tal que :
Testando com a segunda componente:
Como é diferente, as retas e não são paralelas. Agora, para ver se são concorrentes, resolvemos o sistema:
Resolvendo, vemos que não há solução consistente, então e são reversas.
Passo 5
Agora, comparando e .
Vetores de direção:
Proporcionalidade:
Valores diferentes de , então não são paralelas. Verificando se se cruzam:
Resolvendo, vemos que não há solução consistente, então e são reversas.
Passo 6
Comparando e .
Vetores de direção:
Aqui, percebemos que:
Então, os vetores são proporcionais, o que indica que as retas são paralelas ou coincidentes. Para saber qual, verificamos se passam pelo mesmo ponto. Vemos que não está em e vice-versa, então são paralelas.
Passo 7
Agora, vamos comparar e .
Vetores de direção:
Notamos que:
Então, os vetores são proporcionais, indicando que as retas são paralelas ou coincidentes. Verificamos se passam pelo mesmo ponto. Como não está em e vice-versa, são paralelas.
Passo 8
Comparando e .
Vetores de direção:
Vamos verificar se são proporcionais:
Como não é o mesmo, não são paralelas. Agora, para verificar se são concorrentes, resolvemos:
Após resolver, percebemos que não há solução consistente, então e são reversas.
Passo 9
Por último, comparando e .
Vetores de direção:
Verificamos a proporcionalidade:
Como varia, não são paralelas. Para ver se se cruzam:
Resolvendo, não encontramos uma solução consistente, então e são reversas.