Considere as retas r1=A+t A B: t in R, r2=C+t C D: t in R, r3= E+t E F: t in R, r4=G+t G H: t in R, em que A=(1,1,1), B= (3,4,2), C=(3,4,5), D=(-7,-10-7), E=(1,1,0), F=(-4,-6,-6), G= (-1,-2,0) e H=(5,7,3). Verifique se as retas ri e rj, i neq j=1,2,3,4 são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro retas no espaço tridimensional, cada uma definida por um ponto inicial e um vetor de direção. Nosso objetivo é comparar cada par dessas retas para ver se elas são coincidentes (são a mesma reta), paralelas (têm a mesma direção, mas não se encontram), concorrentes (se cruzam em um ponto) ou reversas (não são paralelas nem concorrentes, então não se cruzam). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores de direção de cada reta. A reta AB = B - A = (3-1, 4-1, 2-1) = (2, 3, 1) passa por CD = D - C = (-7-3, -10-4, -7-5) = (-10, -14, -12) e EF = F - E = (-4-1, -6-1, -6-0) = (-5, -7, -6) , então o vetor de direção GH = H - G = (5-(-1), 7-(-2), 3-0) = (6, 9, 3) é:
Fazendo o mesmo para as outras retas:

Passo 3

Agora, para cada par de retas e , vamos comparar os vetores de direção para ver se são proporcionais (o que indicaria paralelismo ou coincidência). Se os vetores não forem proporcionais, verificamos se as retas se intersectam calculando se existe um ponto que satisfaz as equações paramétricas de ambas.

Passo 4

Vamos começar comparando AB = (2, 3, 1), CD = (-10, -14, -12) e 2 = -10k Rightarrow k = -15 .
Vetores de direção:
3 = -14k Rightarrow k = -314
Vamos ver se existe um escalar 1 + 2t = 3 -10s 1 + 3t = 4 -14s 1 + t = 5 -12s tal que :
Testando com a segunda componente:
Como é diferente, as retas e não são paralelas. Agora, para ver se são concorrentes, resolvemos o sistema:
Resolvendo, vemos que não há solução consistente, então e são reversas.

Passo 5

Agora, comparando AB = (2, 3, 1), EF = (-5, -7, -6) e 2 = -5k Rightarrow k = -25 3 = -7k Rightarrow k = -37 .
Vetores de direção:
1 + 2t = 1 -5s 1 + 3t = 1 -7s 1 + t = 0 -6s
Proporcionalidade:
Valores diferentes de , então não são paralelas. Verificando se se cruzam:
Resolvendo, vemos que não há solução consistente, então e são reversas.

Passo 6

Comparando AB = (2, 3, 1), GH = (6, 9, 3) e GH = 3 cdot AB .
Vetores de direção:
Aqui, percebemos que:
Então, os vetores são proporcionais, o que indica que as retas são paralelas ou coincidentes. Para saber qual, verificamos se passam pelo mesmo ponto. Vemos que não está em e vice-versa, então são paralelas.

Passo 7

Agora, vamos comparar CD = (-10, -14, -12), EF = (-5, -7, -6) e CD = 2 cdot EF .
Vetores de direção:
Notamos que:
Então, os vetores são proporcionais, indicando que as retas são paralelas ou coincidentes. Verificamos se passam pelo mesmo ponto. Como não está em e vice-versa, são paralelas.

Passo 8

Comparando CD = (-10, -14, -12), GH = (6, 9, 3) e -10 = 6k Rightarrow k = -106 = -53 -14 = 9k Rightarrow k = -149 -12 = 3k Rightarrow k = -4 .
Vetores de direção:
3 -10t = -1 +6s 4 -14t = -2 +9s 5 -12t = 0 +3s
Vamos verificar se são proporcionais:
Como não é o mesmo, não são paralelas. Agora, para verificar se são concorrentes, resolvemos:
Após resolver, percebemos que não há solução consistente, então e são reversas.

Passo 9

Por último, comparando EF = (-5, -7, -6), GH = (6, 9, 3) e -5 = 6k Rightarrow k = -56 -7 = 9k Rightarrow k = -79 -6 = 3k Rightarrow k = -2 .
Vetores de direção:
1 -5t = -1 +6s 1 -7t = -2 +9s 0 -6t = 0 +3s
Verificamos a proporcionalidade:
Como varia, não são paralelas. Para ver se se cruzam:
Resolvendo, não encontramos uma solução consistente, então e são reversas.

Resposta

Após analisar todas as combinações, temos:
  • e : reversas
  • e : reversas
  • e : paralelas
  • e : paralelas
  • e : reversas
  • e : reversas

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