Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta r que: passa pelo ponto C=(3,-1,4) e é paralela ao vetor u=(-1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelo ponto C=(3,-1,4) e é paralela ao vetor u=(-1,2,3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre como representar retas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como usar um ponto e um vetor diretor para construir essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as equações paramétricas de uma reta. Essas equações descrevem cada coordenada (x, y, z) da reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de t. A fórmula geral para as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto C(x0, y0, z0) e é paralela ao vetor u=(ux, uy, uz) é:
x = x0 + ux cdot t y = y0 + uy cdot t z = z0 + uz cdot t
Aqui, t é um número real que varia, permitindo que a gente percorra todos os pontos da reta.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos o ponto C=(3,-1,4) e o vetor u=(-1,2,3). Vamos substituir esses valores na fórmula das equações paramétricas:
x = 3 + (-1) cdot t y = -1 + 2 cdot t z = 4 + 3 cdot t
Simplificando, ficamos com:
x = 3 - t y = -1 + 2t z = 4 + 3t

Passo 4

Agora, vamos para as equações simétricas da reta. Essas equações eliminam o parâmetro t e relacionam diretamente as coordenadas x, y e z. A forma geral das equações simétricas para uma reta com vetor diretor u=(ux, uy, uz) e passando pelo ponto C(x0, y0, z0) é:
x - x0ux = y - y0uy = z - z0uz
Isso só funciona se nenhum dos componentes do vetor diretor for zero, o que no nosso caso não ocorre.

Passo 5

Vamos aplicar os valores do nosso problema nas equações simétricas. Com C=(3,-1,4) e u=(-1,2,3), temos:
x - 3-1 = y + 12 = z - 43
Podemos também escrever de forma mais limpa:
3 - x1 = y + 12 = z - 43

Resposta

As equações paramétricas da reta r são:
x = 3 - t y = -1 + 2t z = 4 + 3t
E as equações simétricas da reta r são:
3 - x1 = y + 12 = z - 43

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