Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta que: passa pelo ponto e é paralela ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre como representar retas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como usar um ponto e um vetor diretor para construir essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as equações paramétricas de uma reta. Essas equações descrevem cada coordenada (x, y, z) da reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de . A fórmula geral para as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e é paralela ao vetor é:
Aqui, é um número real que varia, permitindo que a gente percorra todos os pontos da reta.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos o ponto e o vetor . Vamos substituir esses valores na fórmula das equações paramétricas:
Simplificando, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos para as equações simétricas da reta. Essas equações eliminam o parâmetro e relacionam diretamente as coordenadas , e . A forma geral das equações simétricas para uma reta com vetor diretor e passando pelo ponto é:
Isso só funciona se nenhum dos componentes do vetor diretor for zero, o que no nosso caso não ocorre.

Passo 5

Vamos aplicar os valores do nosso problema nas equações simétricas. Com e , temos:
Podemos também escrever de forma mais limpa:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

Exercícios relacionados

Determine o vetor tal que e .
Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta que: passa pelos pontos e ;
Considere as retas , em que e . Verifique se as retas e são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.
a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano e intercepta a reta .