Determine o vetor x tal que x wed>=(i+k)=2(i+j-k) e |x|=raiz6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vetor que satisfaz duas condições: o produto vetorial de com é igual a , e a norma de é . Vamos precisar usar o produto vetorial e a norma de um vetor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto vetorial. Se temos dois vetores a wed>= b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k e , o produto vetorial é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para o nosso caso. Seja x wed>= (i + k) = (x2 cdot 1 - x3 cdot 0)i - (x1 cdot 1 - x3 cdot 1)j + (x1 cdot 0 - x2 cdot 1)k e = x2i - (x1 - x3)j - x2k . Calculando o produto vetorial:

Passo 4

Sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a x2i - (x1 - x3)j - x2k = 2i + 2j - 2k , ou seja:
x2 = 2 -(x1 - x3) = 2 -x2 = -2
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 5

Da terceira equação, temos que , ou seja, . Já sabemos disso e está consistente com a primeira equação.
Da segunda equação, , então .

Passo 6

Agora, usamos a condição da norma do vetor |x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 = raiz6 . A norma é dada por:
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 6
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x1^2 + 4 + x3^2 = 6 Rightarrow x1^2 + x3^2 = 2
Sabemos que , então:

Passo 7

Lembrando que x1 = x3 - 2 , podemos resolver para um dos termos. Vamos isolar (x3 - 2)^2 + x3^2 = 2 :
x3^2 - 4x3 + 4 + x3^2 = 2
Substituindo na equação da norma:
2x3^2 - 4x3 + 4 = 2
2x3^2 - 4x3 + 2 = 0
x3^2 - 2x3 + 1 = 0
(x3 - 1)^2 = 0 Rightarrow x3 = 1

Passo 8

Com x1 = 1 - 2 = -1 , encontramos :

Passo 9

Agora, temos todos os componentes de x = -1i + 2j + 1k :

Resposta

O vetor buscado é .

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