Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vetor que satisfaz duas condições: o produto vetorial de com é igual a , e a norma de é . Vamos precisar usar o produto vetorial e a norma de um vetor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto vetorial. Se temos dois vetores e , o produto vetorial é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para o nosso caso. Seja e . Calculando o produto vetorial:
Passo 4
Sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a , ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 5
Da terceira equação, temos que , ou seja, . Já sabemos disso e está consistente com a primeira equação.
Da segunda equação, , então .
Passo 6
Agora, usamos a condição da norma do vetor |x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 = raiz6 . A norma é dada por:
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 6
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x1^2 + 4 + x3^2 = 6 Rightarrow x1^2 + x3^2 = 2
Sabemos que , então:
Passo 7
Lembrando que x1 = x3 - 2 , podemos resolver para um dos termos. Vamos isolar (x3 - 2)^2 + x3^2 = 2 :
x3^2 - 4x3 + 4 + x3^2 = 2
Substituindo na equação da norma:
2x3^2 - 4x3 + 4 = 2
2x3^2 - 4x3 + 2 = 0
x3^2 - 2x3 + 1 = 0
(x3 - 1)^2 = 0 Rightarrow x3 = 1
Passo 8
Com x1 = 1 - 2 = -1 , encontramos :
Passo 9
Agora, temos todos os componentes de x = -1i + 2j + 1k :