a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano e intercepta a reta .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que:
  1. Passa pela origem do sistema de coordenadas.
  2. É paralela ao plano .
  3. Intercepta a reta .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, condições de paralelismo e interseção entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos que a reta seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor for perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é .
Então, queremos que o vetor diretor da reta , , satisfaça:

Passo 4

Além disso, a reta deve interceptar a reta . Para que duas retas se interceptem, existe um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto de interseção.
Como a reta passa pela origem, sua equação paramétrica é:
E a reta :
Encontramos um valor de que torna as coordenadas de iguais às de .

Passo 5

Igualando as coordenadas:
Vamos resolver essas equações para encontrar .
Da equação (3):

Passo 6

Substituindo na condição de paralelismo:
Agora, da equação (1):
Da equação (2):
Para que haja interseção, as soluções devem ser consistentes para o mesmo .

Passo 7

Escolhemos para simplificar os cálculos:
Verificamos na equação (4):
Isso não satisfaz, então tentamos outro valor para . Vamos tentar :
Verificamos na equação (4):
Ainda não funciona. Vamos resolver de forma geral.

Passo 8

Voltemos às equações:
Substituímos na equação (4):
Agora, substituímos em e :

Resposta

A equação da reta que passa pela origem, é paralela ao plano e intercepta a reta é:

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Considere as retas , em que e . Verifique se as retas e são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas.
Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta que: passa pelo ponto e é paralela ao vetor .
Mostre que as retas e formam um quadrado, onde:
.
Determine as equações paramétricas e simétricas, caso exista, da reta que: passa pelo ponto e é paralela ao vetor ;