a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano e intercepta a reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que:
Passa pela origem do sistema de coordenadas.
É paralela ao plano .
Intercepta a reta .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, condições de paralelismo e interseção entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, precisamos que a reta seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor for perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é .
Então, queremos que o vetor diretor da reta , , satisfaça:
Passo 4
Além disso, a reta deve interceptar a reta . Para que duas retas se interceptem, existe um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto de interseção.
Como a reta passa pela origem, sua equação paramétrica é:
E a reta :
Encontramos um valor de que torna as coordenadas de iguais às de .
Passo 5
Igualando as coordenadas:
a t = 1 + t (1) b t = -2 + 3t (2) c t = t (3)
Vamos resolver essas equações para encontrar c t = t implies c = 1 .
Da equação (3):
Passo 6
Substituindo 3a - 2b + 1 = 0 implies 3a - 2b = -1 (4) na condição de paralelismo:
a t = 1 + t implies a = 1 + tt
Agora, da equação (1):
b t = -2 + 3t implies b = -2 + 3tt
Da equação (2):
Para que haja interseção, as soluções devem ser consistentes para o mesmo .
Passo 7
Escolhemos a = 1 + 11 = 2 b = -2 + 3 cdot 11 = 1 para simplificar os cálculos:
3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4 neq -1
Verificamos na equação (4):
a = 1 + (-1)-1 = 0-1 = 0 b = -2 + 3(-1)-1 = -2 -3-1 = 5
Isso não satisfaz, então tentamos outro valor para 3(0) - 2(5) = 0 - 10 = -10 neq -1 . Vamos tentar :
Verificamos na equação (4):
Ainda não funciona. Vamos resolver de forma geral.