a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano pi: 3 x-2 y+z-2=0 e intercepta a reta r: x-1=y+23=z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que:
  1. Passa pela origem do sistema de coordenadas.
  2. É paralela ao plano .
  3. Intercepta a reta .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, condições de paralelismo e interseção entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta x - 1 = y + 23 = z . A equação da reta está na forma simétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, precisamos que a reta ds cdot n = 0 implies 3a - 2b + c = 0 seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor for perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é .
Então, queremos que o vetor diretor da reta , , satisfaça:

Passo 4

Além disso, a reta s: x = a t y = b t z = c t deve interceptar a reta r: x = 1 + t y = -2 + 3t z = t . Para que duas retas se interceptem, existe um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto de interseção.
Como a reta passa pela origem, sua equação paramétrica é:
E a reta :
Encontramos um valor de que torna as coordenadas de iguais às de .

Passo 5

Igualando as coordenadas:
a t = 1 + t (1) b t = -2 + 3t (2) c t = t (3)
Vamos resolver essas equações para encontrar c t = t implies c = 1 .
Da equação (3):

Passo 6

Substituindo 3a - 2b + 1 = 0 implies 3a - 2b = -1 (4) na condição de paralelismo:
a t = 1 + t implies a = 1 + tt
Agora, da equação (1):
b t = -2 + 3t implies b = -2 + 3tt
Da equação (2):
Para que haja interseção, as soluções devem ser consistentes para o mesmo .

Passo 7

Escolhemos a = 1 + 11 = 2 b = -2 + 3 cdot 11 = 1 para simplificar os cálculos:
3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4 neq -1
Verificamos na equação (4):
a = 1 + (-1)-1 = 0-1 = 0 b = -2 + 3(-1)-1 = -2 -3-1 = 5
Isso não satisfaz, então tentamos outro valor para 3(0) - 2(5) = 0 - 10 = -10 neq -1 . Vamos tentar :
Verificamos na equação (4):
Ainda não funciona. Vamos resolver de forma geral.

Passo 8

Voltemos às equações:
a = 1 + tt = 1 + 1t b = -2 + 3tt = -2t + 3
Substituímos na equação (4):
3(1 + 1t) - 2(-2t + 3) = -1 3 + 3t + 4t - 6 = -1 -3 + 7t = -1 7t = 2 t = 72
Agora, substituímos a = 1 + 27 = 97 b = -272 + 3 = -47 + 3 = 177 em e :

Resposta

A equação da reta s: x = 97 t y = 177 t z = t que passa pela origem, é paralela ao plano e intercepta a reta é:

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