a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de coordenadas, é paralela ao plano e intercepta a reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que:
Passa pela origem do sistema de coordenadas.
É paralela ao plano .
Intercepta a reta .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, condições de paralelismo e interseção entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, precisamos que a reta seja paralela ao plano . Uma reta é paralela a um plano se seu vetor diretor for perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é .
Então, queremos que o vetor diretor da reta , , satisfaça:
Passo 4
Além disso, a reta deve interceptar a reta . Para que duas retas se interceptem, existe um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto de interseção.
Como a reta passa pela origem, sua equação paramétrica é:
E a reta :
Encontramos um valor de que torna as coordenadas de iguais às de .
Passo 5
Igualando as coordenadas:
Vamos resolver essas equações para encontrar .
Da equação (3):
Passo 6
Substituindo na condição de paralelismo:
Agora, da equação (1):
Da equação (2):
Para que haja interseção, as soluções devem ser consistentes para o mesmo .
Passo 7
Escolhemos para simplificar os cálculos:
Verificamos na equação (4):
Isso não satisfaz, então tentamos outro valor para . Vamos tentar :
Verificamos na equação (4):
Ainda não funciona. Vamos resolver de forma geral.
Passo 8
Voltemos às equações:
Substituímos na equação (4):
Agora, substituímos em e :
Resposta
A equação da reta que passa pela origem, é paralela ao plano e intercepta a reta é: