Considere as retas
a) Calcule o ângulo entre as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas retas no espaço, chamadas de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores de cada reta. Os vetores diretores nos dizem a “direção” em que cada reta está apontando no espaço.
Para a reta , que está na forma simétrica:
os coeficientes dos denominadores são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta é:
Para a reta , que está na forma paramétrica:
os coeficientes de em cada equação são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é a seguinte:
onde:
  • é o produto escalar dos vetores,
  • e são as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Em seguida, calculamos as normas dos vetores e .
Para :
Para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:

Passo 7

Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de :
Calculando isso com uma calculadora:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente graus.

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a)
b) .
c) .
d)
e)
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Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.
respectivamente,
a)
b) e .
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d) .
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Considerando as informações apresentadas, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da capacitância desse capacitor.
a)
b)
c)
d)
e)