Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas retas no espaço, chamadas de r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores de cada reta. Os vetores diretores nos dizem a “direção” em que cada reta está apontando no espaço.
Para a reta r, que está na forma simétrica:
r: x-12=-1-y4=z-24,
os coeficientes dos denominadores são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta r é:
u = 2 4 4
Para a reta s, que está na forma paramétrica:
s: l x= -1 + t y=4 - t z= -1 + 3t ,
os coeficientes de t em cada equação são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta s é:
v = 1 -1 3
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é a seguinte:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||,
onde:
u cdot v é o produto escalar dos vetores,
||u|| e ||v|| são as normas (ou módulos) dos vetores.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(1) + (4)(-1) + (4)(3) = 2 - 4 + 12 = 10
Passo 5
Em seguida, calculamos as normas dos vetores u e v.