Considere as retas
r: x-12=-1-y4=z-24 s:lrr x= & -1+t y=4 & -t z= & -1+3 t
a) Calcule o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas retas no espaço, chamadas de r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores de cada reta. Os vetores diretores nos dizem a “direção” em que cada reta está apontando no espaço.
Para a reta r, que está na forma simétrica:
r: x-12=-1-y4=z-24,
os coeficientes dos denominadores são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta r é:
u = 2 4 4
Para a reta s, que está na forma paramétrica:
s: l x= -1 + t y=4 - t z= -1 + 3t ,
os coeficientes de t em cada equação são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta s é:
v = 1 -1 3

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é a seguinte:
cos theta = u cdot v||u|| , ||v||,
onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores,
  • ||u|| e ||v|| são as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(1) + (4)(-1) + (4)(3) = 2 - 4 + 12 = 10

Passo 5

Em seguida, calculamos as normas dos vetores u e v.
Para u:
||u|| = raiz2^2 + 4^2 + 4^2 = raiz4 + 16 + 16 = raiz36 = 6
Para v:
||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 106 times raiz11 = 106raiz11 = 53raiz11
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
cos theta = 5raiz113 times 11 = 5raiz1133

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 5raiz1133:
theta = arccos(5raiz1133)
Calculando isso com uma calculadora:
theta approx 63,43^circ

Resposta

O ângulo entre as retas r e s é aproximadamente 63,43 graus.

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