Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo entre duas retas no espaço, chamadas de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores diretores de cada reta. Os vetores diretores nos dizem a “direção” em que cada reta está apontando no espaço.
Para a reta , que está na forma simétrica:
os coeficientes dos denominadores são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta é:
Para a reta , que está na forma paramétrica:
os coeficientes de em cada equação são os componentes do vetor diretor. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é a seguinte:
onde:
é o produto escalar dos vetores,
e são as normas (ou módulos) dos vetores.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Em seguida, calculamos as normas dos vetores e .
Para :
Para :
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
Passo 7
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de :
Calculando isso com uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre as retas e é aproximadamente graus.