Seja
o conjunto de pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano-
, isto é,
Encontre um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que
não é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto
, que contém todos os pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano
, não é um subespaço de
. Para fazer isso, a gente precisa entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
Primeiro, o vetor zero
está em
porque está no centro do círculo unitário. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos testar a adição de vetores. Vamos escolher dois vetores específicos que estão em
e ver se a soma deles também está em
.
Escolha os vetores:
Ambos estão no círculo unitário porque
e
.
Agora, some-os:
Vamos verificar se esse vetor está em
. Calculamos a norma:
Como
, o vetor
não está dentro do círculo unitário. Portanto, a soma de dois vetores em
não está mais em
.
Passo 5
Como encontramos dois vetores em
cuja soma não está em
, isso quebra a condição de fechamento sob adição. Portanto,
não é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque ao somarmos dois vetores dentro de
, a soma pode sair de
, como mostrado com
e
, cuja soma
não está em
.