Seja H o conjunto de pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano- x y, isto é,
H=[l x y ] ; x y >= 0
Encontre um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que H não é um subespaço de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto , que contém todos os pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano , não é um subespaço de . Para fazer isso, a gente precisa entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de 0 0 precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, o vetor zero 0 0 está em porque está no centro do círculo unitário. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos testar a adição de vetores. Vamos escolher dois vetores específicos que estão em u = 1 0 , v = 0 1 e ver se a soma deles também está em u + v = 1 0 + 0 1 = 1 1 .
Escolha os vetores:
|u + v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414
Ambos estão no círculo unitário porque e .
Agora, some-os:
Vamos verificar se esse vetor está em . Calculamos a norma:
Como , o vetor não está dentro do círculo unitário. Portanto, a soma de dois vetores em não está mais em .

Passo 5

Como encontramos dois vetores em cuja soma não está em , isso quebra a condição de fechamento sob adição. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto 1 0 não é um subespaço de 0 1 porque ao somarmos dois vetores dentro de 1 1 , a soma pode sair de , como mostrado com e , cuja soma não está em .

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