Seja o conjunto de pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano- , isto é,
Encontre um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que não é um subespaço de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto , que contém todos os pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano , não é um subespaço de . Para fazer isso, a gente precisa entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se dois vetores e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .
Passo 3
Primeiro, o vetor zero está em porque está no centro do círculo unitário. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos testar a adição de vetores. Vamos escolher dois vetores específicos que estão em e ver se a soma deles também está em .
Escolha os vetores:
Ambos estão no círculo unitário porque e .
Agora, some-os:
Vamos verificar se esse vetor está em . Calculamos a norma:
Como , o vetor não está dentro do círculo unitário. Portanto, a soma de dois vetores em não está mais em .
Passo 5
Como encontramos dois vetores em cuja soma não está em , isso quebra a condição de fechamento sob adição. Portanto, não é um subespaço de .
Resposta
O conjunto não é um subespaço de porque ao somarmos dois vetores dentro de , a soma pode sair de , como mostrado com e , cuja soma não está em .