Seja o conjunto de pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano- , isto é,
Encontre um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que não é um subespaço de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o conjunto , que contém todos os pontos dentro e sobre o círculo unitário no plano , não é um subespaço de . Para fazer isso, a gente precisa entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como vetores, operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, o vetor zero está em porque está no centro do círculo unitário. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos testar a adição de vetores. Vamos escolher dois vetores específicos que estão em e ver se a soma deles também está em .
Escolha os vetores:
Ambos estão no círculo unitário porque e .
Agora, some-os:
Vamos verificar se esse vetor está em . Calculamos a norma:
Como , o vetor não está dentro do círculo unitário. Portanto, a soma de dois vetores em não está mais em .

Passo 5

Como encontramos dois vetores em cuja soma não está em , isso quebra a condição de fechamento sob adição. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque ao somarmos dois vetores dentro de , a soma pode sair de , como mostrado com e , cuja soma não está em .

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Para disparar o flash de uma câmera, é necessário que um capacitor, de ligado a esse flash, esteja carregado com uma carga de Sabendo que, ao carregar o capacitor, a bateria da câmera, considerada ideal, fica ligada diretamente a ele, a diferença de potencial fornecida pela bateria deve ser de, no mínimo,
a)
b) .
c) .
d)
e)
Considere as retas
a) Calcule o ângulo entre as retas e .