Considere as retas e .
(iii) Calcule a menor distância possível entre um ponto de e um ponto de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e o objetivo é descobrir qual é a menor distância entre qualquer ponto da reta e qualquer ponto da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Já a reta é:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores originais, o que é útil para encontrar a distância mínima entre as retas.
Calculando :
= i(-1) - j(-2) + k(-1) = (-1, 2, -1)
Passo 4
Em seguida, vamos escolher um ponto em cada reta para construir um vetor que liga esses dois pontos. Podemos tomar o ponto (1,0,1) da reta r e o ponto (1,1,1) da reta s.
O vetor que liga esses pontos é:
Ps - Pr = (1,1,1) - (1,0,1) = (0,1,0)
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor que ligou os pontos (0,1,0) e o produto vetorial que fizemos anteriormente (-1,2,-1):