Considere as retas e .
(iii) Calcule a menor distância possível entre um ponto de e um ponto de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e o objetivo é descobrir qual é a menor distância entre qualquer ponto da reta e qualquer ponto da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Já a reta é:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores originais, o que é útil para encontrar a distância mínima entre as retas.
Calculando :

Passo 4

Em seguida, vamos escolher um ponto em cada reta para construir um vetor que liga esses dois pontos. Podemos tomar o ponto da reta e o ponto da reta .
O vetor que liga esses pontos é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor que ligou os pontos e o produto vetorial que fizemos anteriormente :

Passo 6

Finalmente, para encontrar a menor distância entre as retas, usamos a fórmula:
Já calculamos o numerador, que é . Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial:
Então,

Resposta

A menor distância entre um ponto da reta e um ponto da reta é unidades.

Exercícios relacionados

Escreva as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles.
(a)
(b)
©
Mostre que as matrizes
são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz à matriz triangular superior .
Analisar o conjunto solução do sistema linear
apresentando uma interpretação geométrica.
Em cada item abaixo, mostre que as retas e determinam um plano e obtenha uma equação geral de tal plano.