Considere as retas e .
(iii) Calcule a menor distância possível entre um ponto de e um ponto de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e o objetivo é descobrir qual é a menor distância entre qualquer ponto da reta e qualquer ponto da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Já a reta é:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores originais, o que é útil para encontrar a distância mínima entre as retas.
Calculando :
Passo 4
Em seguida, vamos escolher um ponto em cada reta para construir um vetor que liga esses dois pontos. Podemos tomar o ponto da reta e o ponto da reta .
O vetor que liga esses pontos é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor que ligou os pontos e o produto vetorial que fizemos anteriormente :
Passo 6
Finalmente, para encontrar a menor distância entre as retas, usamos a fórmula:
Já calculamos o numerador, que é . Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial:
Então,
Resposta
A menor distância entre um ponto da reta e um ponto da reta é unidades.