Considere as retas r: X=(1,0,1)+lambda(1,1,1)(lambda in R) e s: X=(1,1,1)+mu(1,0,-1)(mu in R).
(iii) Calcule a menor distância possível entre um ponto de r e um ponto de s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e o objetivo é descobrir qual é a menor distância entre qualquer ponto da reta r e qualquer ponto da reta s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente relacionados a vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. A reta r é dada por:
r: X = (1,0,1) + lambda(1,1,1)
Aqui, o vetor diretor da reta r é dr = (1,1,1).
Já a reta s é:
s: X = (1,1,1) + mu(1,0,-1)
Então, o vetor diretor da reta s é ds = (1,0,-1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores diretores. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular a ambos os vetores originais, o que é útil para encontrar a distância mínima entre as retas.
Calculando dr times ds:
dr times ds = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 0 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 1 cdot 1)
= i(-1) - j(-2) + k(-1) = (-1, 2, -1)

Passo 4

Em seguida, vamos escolher um ponto em cada reta para construir um vetor que liga esses dois pontos. Podemos tomar o ponto (1,0,1) da reta r e o ponto (1,1,1) da reta s.
O vetor que liga esses pontos é:
Ps - Pr = (1,1,1) - (1,0,1) = (0,1,0)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor que ligou os pontos (0,1,0) e o produto vetorial que fizemos anteriormente (-1,2,-1):
(Ps - Pr) cdot (dr times ds) = (0,1,0) cdot (-1,2,-1) = 0 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0 cdot (-1) = 2

Passo 6

Finalmente, para encontrar a menor distância entre as retas, usamos a fórmula:
d = |(Ps - Pr) cdot (dr times ds)||dr times ds|
Já calculamos o numerador, que é 2. Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial:
|dr times ds| = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então,
d = 2raiz6 = 2raiz66 = raiz63

Resposta

A menor distância entre um ponto da reta r e um ponto da reta s é raiz63 unidades.

Exercícios relacionados