são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz A à matriz triangular superior U.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que as matrizes e são equivalentes. Isso significa que, usando operações elementares de linha, a gente consegue transformar a matriz na matriz . Para isso, vamos precisar conhecer as operações elementares de linha, que são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos aplicar essas operações passo a passo para reduzir à forma triangular superior de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes para termos uma visão clara:
O objetivo é transformar em usando as operações de linha mencionadas.
Passo 3
Operação 1: Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) ser 1. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda linha de Troca L1 rightarrow L2 , já que a segunda linha começa com 1.
A = 1 & 3 & 2 2 & 1 & -1 4 & 2 & 1
Passo 4
Operação 2: Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Ou seja, transformar os 2 e 4 da segunda e terceira linhas em 0.
Para zerar o 4 na posição L3 = [4, 2, 1] - 4 times [1, 3, 2] = [4 - 4, 2 - 12, 1 - 8] = [0, -10, -7] :
A = 1 & 3 & 2 0 & -5 & -5 0 & -10 & -7
Então, a matriz fica:
Passo 5
Operação 3: Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento na posição L3 = L3 - 2 times L2 seja 0. Para isso, vamos usar a segunda linha como referência.
Primeiro, podemos simplificar a terceira linha. Vamos usar a segunda linha para zerar o -10 na terceira linha.