Mostre que as matrizes
A=[ccc 2 & 1 & -1 1 & 3 & 2 4 & 2 & 1 ] e U=[ccc 1 & 3 & 2 0 & -5 & -5 0 & 0 & 3 ]
são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz A à matriz triangular superior U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que as matrizes e são equivalentes. Isso significa que, usando operações elementares de linha, a gente consegue transformar a matriz na matriz . Para isso, vamos precisar conhecer as operações elementares de linha, que são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos aplicar essas operações passo a passo para reduzir à forma triangular superior de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes para termos uma visão clara:
A = 2 & 1 & -1 1 & 3 & 2 4 & 2 & 1 , U = 1 & 3 & 2 0 & -5 & -5 0 & 0 & 3
O objetivo é transformar em usando as operações de linha mencionadas.

Passo 3

Operação 1: Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) ser 1. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda linha de Troca L1 rightarrow L2 , já que a segunda linha começa com 1.
A = 1 & 3 & 2 2 & 1 & -1 4 & 2 & 1

Passo 4

Operação 2: Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Ou seja, transformar os 2 e 4 da segunda e terceira linhas em 0.
Para zerar o 2 na posição L2 = L2 - 2 times L1 :
L2 = [2, 1, -1] - 2 times [1, 3, 2] = [2 - 2, 1 - 6, -1 - 4] = [0, -5, -5]
L3 = L3 - 4 times L1
Para zerar o 4 na posição L3 = [4, 2, 1] - 4 times [1, 3, 2] = [4 - 4, 2 - 12, 1 - 8] = [0, -10, -7] :
A = 1 & 3 & 2 0 & -5 & -5 0 & -10 & -7
Então, a matriz fica:

Passo 5

Operação 3: Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento na posição L3 = L3 - 2 times L2 seja 0. Para isso, vamos usar a segunda linha como referência.
Primeiro, podemos simplificar a terceira linha. Vamos usar a segunda linha para zerar o -10 na terceira linha.
L3 = [0, -10, -7] - 2 times [0, -5, -5] = [0 - 0, -10 - (-10), -7 - (-10)] = [0, 0, 3]
A = 1 & 3 & 2 0 & -5 & -5 0 & 0 & 3
Agora, a matriz está assim:

Resposta

Pronto! Aplicando as operações elementares de linha, transformamos a matriz na matriz triangular superior . A sequência de operações usadas foi:
  1. Troca:
  2. Combinação Linear:
  3. Combinação Linear:
Assim, mostramos que e são matrizes equivalentes.

Exercícios relacionados