Mostre que as matrizes
são equivalentes, indicando a sequência de operações elementares de linhas utilizada para reduzir a matriz à matriz triangular superior .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que as matrizes e são equivalentes. Isso significa que, usando operações elementares de linha, a gente consegue transformar a matriz na matriz . Para isso, vamos precisar conhecer as operações elementares de linha, que são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos aplicar essas operações passo a passo para reduzir à forma triangular superior de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas matrizes para termos uma visão clara:
O objetivo é transformar em usando as operações de linha mencionadas.

Passo 3

Operação 1: Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) ser 1. Para isso, podemos trocar a primeira linha com a segunda linha de , já que a segunda linha começa com 1.

Passo 4

Operação 2: Agora, queremos zerar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Ou seja, transformar os 2 e 4 da segunda e terceira linhas em 0.
Para zerar o 2 na posição :
Para zerar o 4 na posição :
Então, a matriz fica:

Passo 5

Operação 3: Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o elemento na posição seja 0. Para isso, vamos usar a segunda linha como referência.
Primeiro, podemos simplificar a terceira linha. Vamos usar a segunda linha para zerar o -10 na terceira linha.
Agora, a matriz está assim:

Resposta

Pronto! Aplicando as operações elementares de linha, transformamos a matriz na matriz triangular superior . A sequência de operações usadas foi:
  1. Troca:
  2. Combinação Linear:
  3. Combinação Linear:
Assim, mostramos que e são matrizes equivalentes.

Exercícios relacionados

Seja . Em cada item, verifique se a matriz dada é ortogonal a em relação ao produto interno do Exercício anterior:
Para cada valor de , a equação representa uma parábola. Determine a equação e esboce:
(a) a que passa por ;
(b) aquela cujo foco é ;
© aquela cuja diretriz é .
Escreva as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles.
(a)
(b)
©
Considere as retas e .
(iii) Calcule a menor distância possível entre um ponto de e um ponto de .