Considere o seguinte algoritmo:
& Faça epsilon 1 & Para k=1,2, ldots, faça & epsilon / 2 & Se 1+epsilon>1, então & Faça k k+1 e voççãçá
Este algoritmo é interrompido para algum valor de k ?. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um algoritmo que começa com ε igual a 1 e, em cada passo, divide ε por 2. Depois, verifica se é maior que 1. Se for, ele incrementa e repete o processo. Se não, ele para e imprime e . Nosso objetivo é descobrir se esse algoritmo vai parar em algum valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o algoritmo faz passo a passo. Começa com . Em seguida, para cada :
  1. Divide por 2: .
  2. Verifica se :
    • Se for verdade, incrementa e volta ao passo 3.
    • Se não for, para e imprime e .

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre a condição . Matemática pura diz que qualquer número positivo sempre fará com que seja maior que 1. Isso porque estamos adicionando um número positivo a 1, então o resultado sempre vai ser maior que 1.

Passo 4

O que acontece no algoritmo é que é continuamente dividida por 2. Mas, como estamos trabalhando com números reais, não importa quão pequeno fique, ele nunca vai ser exatamente zero. Sempre vai ter algum valor positivo, por menor que seja.

Passo 5

Como resultado, a condição nunca vai ser falsa enquanto for maior que zero. Ou seja, o algoritmo nunca vai chegar no ponto de imprimir e . Ele vai continuar dividindo por 2 e incrementando para sempre.

Resposta

Não, o algoritmo nunca é interrompido para nenhum valor de .

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