Sejam as funções f(x) = x * (raiz(x + 1) - raiz(x)) e g(x) = x / (raiz(x + 1) + raiz(x)). Note que f(x) = g(x) para todo x >= 0. Considere um sistema de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento. Compare os resultados obtidos para f(500) e g(500) neste sistema, calculando, para cada um destes valores, o erro relativo em relação ao valor da função calculado com todos os dígitos de sua calculadora (ou computador).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado nos apresenta duas funções:
Ele também nos diz que para todo . Nosso objetivo aqui é comparar os valores de e em um sistema de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento. Para isso, vamos calcular o erro relativo de cada função em relação ao valor exato calculado com todos os dígitos da calculadora ou computador.
Vamos precisar entender como funciona a representação de números em ponto flutuante, especialmente com uma mantissa de 4 dígitos, e como o arredondamento afeta nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor exato de e usando todos os dígitos disponíveis. Como sabemos que , podemos calcular qualquer uma das funções para achar o valor exato.
Vamos calcular :
Calculando as raízes:
Subtraindo:
Multiplicando por 500:
Então, o valor exato de e é aproximadamente 11.15.

Passo 3

Agora, vamos simular como esses cálculos seriam feitos em um sistema de ponto flutuante com 4 dígitos na mantissa e arredondamento.
Primeiro, vamos entender que em ponto flutuante, números são representados na forma:
Com uma mantissa de 4 dígitos, precisamos arredondar nossos números para quatro dígitos significativos.
Vamos recalcular passo a passo nesse sistema.

Passo 4

Calculando e com 4 dígitos na mantissa:
Agora, a subtração:
Agora, multiplicando por 500:
Então, o valor aproximado de no sistema de ponto flutuante é 10.

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para :
Usando os valores arredondados:
Agora, a divisão:
Arredondando para 4 dígitos na mantissa:
Então, o valor aproximado de no sistema de ponto flutuante é 11.17.

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro relativo para cada função. O erro relativo é dado por:
Primeiro, para :
Agora, para :

Resposta

Para , o erro relativo é aproximadamente 10,31%, e para , o erro relativo é aproximadamente 0,18%.

Exercícios relacionados