Considere o seguinte campo vetorial,
. Encontre div
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
e precisamos encontrar a divergência desse campo, que é representada por
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com o conceito de divergência, que mede o quanto um campo vetorial está “espalhando” ou “convergindo” em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial em duas dimensões. Se tivermos um campo
, a divergência é dada por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.
Passo 3
No nosso caso, identificamos que
e
. Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Porque a derivada de
em relação a
é
, multiplicado por
fica
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e multiplicando por
temos
.
Passo 5
Agora que temos ambas as derivadas parciais, vamos somá-las para encontrar a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é
.
Exercícios relacionados
Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Mostre que o campo vetorial dado é conservativo e encontre uma função potencial:
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
Calcule o produto
: